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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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test
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８７７は本物。トリップの出し方間違えた。
８７４の例。
ｆ：（｛１，２，３｝、｜）→（｛1，2，3｝、≦）をｆ(1)＝1，ｆ(2)＝3，ｆ(3)＝2で定める。
ただし｜は自然数の整除関係、≦は通常の大小関係。
このときｆは順序写像でかつ単射だが、順序単射ではない。
ところで８７６の疑問を解決してくれる人はいませんか。
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>>882
なるほど。ありが㌧。
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>>868
最大元、最小元がともに存在しない例は
(Z,≦)ですね.
>>869
supMが存在するなら一意であるってのはなんで？
>上に有界であるようなAの空でない部分集合Mについて、次の３つの場合が考えられる。
>(a) maxMが存在する。このときsupMも存在してmaxM＝supM
>(b) maxMは存在しないがsupMは存在する。このときsupM∈M^c
>（この書き方は若干苦しいがweb上なので止むを得ない。要はsupMはMの元ではないとい>>うこと）
>(c) supMが存在しない。このときmaxＭも存在しない
(a),(b),(c)それぞれ例を挙げてください。理由も書いてください。
>>870
>順序集合でＭ⊂Ａ_1⊂Aであるとき、MがA_1の中に上限をもたなくても
>Aの中で持つことがある。その逆の場合もある。さらにMがA_1、Aの中にそれぞれ異なる>>上限を持つ場合もある。
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"逆の場合"と"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"の例を挙げてください。
>>875
納得です。
>>876
>順序集合に関する命題に対し、その命題の中に現れる順序に関する概念を
>それぞれその相対概念でおきかえて得られる命題をはじめの命題の相対命題という。
>ある順序集合についてある命題が成り立つならば、その相対順序集合について前の命題>>の相対命題が成り立つ。
(A,O_1)を順序集合、O_2をO_1の双対順序とする。
(x,y)∈A^2としx,y,O_1に関する命題をp(x,y;O_1)とするとp(x,y;O_1)の双対命題は
p(y,x;O_2)だがxO_1y⇔yO_2xなのでp(x,y;O_1)⇔p(y,x;O_2).
p(x,y;O_1)は「xとyが順序O_1についてムニャムニャである」みたいな文だから
その双対命題は「yとxが順序O_2についてムニャムニャである」即ちp(y,x;O_2)ですよね.
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ヘンなところでレスを区切ってしまった。スマソ。
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§２ 整列集合とその比較定理
A) 整列集合
自然数全体の集合Nは大小の順序≦について全順序集合をなすが、さらに
この順序集合は次の定理に述べる重要な性質を有する。
定理1 Nの任意の空でない部分集合は最小元をもつ。
証明 この定理は数学的帰納法によって次のように証明される。
MをNの空でない部分集合とする。M≠Φであるから、Mは少なくとも1つ
の自然数を含む。もし1∈Mならば、もちろん1=minMである。そこで、
Mがn以下のある自然数を含むような場合には、この定理が成り立つものと
して、n+1∈Mの場合にもこの定理が成り立つことを証明する。この場合、
もしMがn以下のある自然数をも含むならば、帰納法の仮定によってMは
最小元をもつ。またMがn以下のどの自然数も含まないならば、当然n+1=minM
となる。(証明終)
一般に、Wが全順序集合で、その空でない任意の部分集合がいつも最小元
をもつとき、Wを整列集合(well-ordered set)という。Nは最も典型的な
整列集合である。また、有限の全順序集合は明らかに整列集合である。
本節以後、順序集合を略式にその台集合と同一の記号で表し、特に必要の
ある場合のほかは、順序の記号を付記しない。
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注意 上の整列集合の定義で、Wの順序が"全順序"であるという仮定は実は
不要である。(すなわち、それは後の条件から自然に導かれる。)実際、a,bを
Wの任意の2元とすれば、後の条件によってmin{a,b}が存在するが、min{a,b}=a
ならばa≦b,min{a,b}=bならばa≧b。いずれにしてもa,bは比較可能となる。ゆえに
Wの順序は全順序である。
われわれは次に、整列集合の性質を調べるのであるが、そのためにまず、1つの
概念を用意しておこう。
一般にAを任意の順序集合とし、a,bをAの2つの元とする。もしa<bで、a<x<b
となるようなAの元xが存在しないならば、Aの中でbはaの直後の元、aはbの直前の元
であるという。
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もしAが全順序集合であるならば、bがaの直後の元であることは、bがaよりも
大きいAの元の集合X={x|x∈A,a<x}の最小元であることと同等である。
bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在しない⇒
b∈X,(任意のx∈Xに対してb≦x)
()を背理法で示す。Aは全順序集合だからその部分集合であるXも全順序集合
だから∀x∈X(b≦x)でないと仮定すれば∃x∈X(b≧x)であるが、これは∃x∈X(a<x≦b)
うまく書けないorz
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やり直し・・・演習スレの5を使います。
もしAが全順序集合であるならば、bがaの直後の元であることは、bがaよりも
大きいAの元の集合X={x|x∈A,a<x}の最小元であることと同等である。
bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在しない⇒
b∈X,(任意のx∈Xに対してb≦x)
()を背理法で示す。Aは全順序集合だからその部分集合であるXも全順序集合
だから∀x∈X(b≦x)でないと仮定すれば∃x∈X(b>x)であるが、これは∃x∈X(a<x<b)
となり矛盾。
また、bがXの最小元⇔b∈X,∀x∈X(b≦X)⇒bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<b
となるようなAの元yが存在しない
これを背理法で示す。a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在するならば
y∈X。bがXの最小元であることにより、b<y。よって¬(y<b)これは(a<)y<bに矛盾。
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>>887
「有限の全順序集合が整列集合である」
証明おねがいします。
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>>888
おｋ
>>890
最後の行
bがXの最小元であることにより、b<y。
は
bがXの最小元であることにより、b≦y。
ですね。
おｋ。
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今1章の40pぐらいを読んでいます。
追いついたら（暇なので2月中には可能だと思います）
参加させてもらってもいいでしょーか？
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>>893
歓迎！！！
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>>891
有限の全順序集合Aが整列集合であることを背理法で示す。
Aが整列集合でないとすると、ある空でない部分集合が存在してその部分集合
(以降=Bとする)には最小元が存在しない。Bから任意に1つ元を取り出しそれを
x_1とする。Bに最小元が存在しないことによりx<x_1となるx∈Bが存在するから
そのうち任意の1つをx_2とする。こうしてx_1,x_2,x_3,･･･をとりだしていくと
Bの元がn個であるとすれば高々n+1回このような操作を繰り返せばx_k=x_lとなる
k,l(k>l)がでてくる。これは<における推移律よりx_k<x_l。矛盾。
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あ、BはAの部分集合だから全順序集合。それから、ここでも演習スレ5を使ってます。
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>>893
893さん大歓迎ですよ〜
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えと蛇足ですがAが有限だからBも有限です・・・
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>>895->>898
了解です。
B={x_1, x_2,…,x_n}であったとしたら
必要なら番号を付け替えることにより
x_1<x_2<…<x_n
とまさしく「整列」できるわけですね。
演習スレ>>8が効いてるわけですねー。
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>>894>>897 歓迎感謝！頑張って追いつきます。
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>>900
>>1->>899
までのレスへの、質問、ツッコミもよろしく。
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わりぃ久しぶり
そのうち復帰するんで進めといてｸﾚ
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>>902
ｵﾋｻｼﾌﾞﾘ!!
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>>887
忘れてました.
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/19
で自然数の整列性を仮定し,数学的帰納法の原理を証明しました.
>>887では,数学的帰納法の正しさは無条件に認めて,
数学的帰納法から,自然数の整列性を示したわけですね.
つまり
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/19
と>>887によって
自然数の整列性と,数学的帰納法の原理という2つの命題は同値である
ことが示されたわけですね.
でもこの2命題自体の正しさはまだ言ってないことを,注意しておきます.
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続きです。
したがってAが全順序集合である場合、もしAの元aの直後の元が存在するならば、
それはaに対して一意的に定まる。同様に、やはりAが全順序集合であるという仮定
のもとに、aがbの直前の元であることは、a{x|x∈A,x<b}の最大元であることと同様
である。したがってbの直前の元は(もし存在すれば)bに対して一意的に定まる。
さてそこで、整列集合の考察に戻ろう。
定義から明らかに、整列集合の任意の部分集合はやはり整列集合である。
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また、Wを任意の整列集合とすれば、次のことが成り立つ。
(鄯) minWが存在する。
(鄱) aをWの任意の元とするとき、もしaよりも後にあるWの元が存在
すれば、aの直後の元a'が存在する。
実際、(鄯)は定義から明らかである。また(鄱)の仮定のもとに、W'={x|x
∈W,a<x}は空ではなく、したがって整列集合の定義により、minW'が存在する。
それをa'とすれば、a'はaの直後の元である。
上の(鄯),(鄱)は、順序集合Nが最小元1をもち、またNの任意の元nに対して
その直後の元n+1が存在する、という周知の性質の、一般の整列集合への拡張で
ある。
ただし、Nにおいては、1以外の任意の自然数は必ず直前の元は有するが、この
性質は一般の整列集合Wでは必ずしも満たされない。すなわち、aをWの元とする
とき、(a≠minWであっても)aの直前の元は必ずしも存在するとは限らない。しかし、
aの直前の元が存在する場合には、(上にも注意したように)それはaに対して一意に
定まる。
例 整列集合Wの元a(≠minW)が直前の元をもたないような例は、次のようにして
簡単につくられる。いま、ωを自然数と異なる1つの記号とし、N∪{ω}=Wとおく。W
において順序≦を次のように定める:"Nの元に対しては≦は大小の順序そのままとし、
また任意のn∈Nとωに対してはn<ωとする。"このように≦を定めれば、Wは明らかに
整列集合となるが、その元ωは直前の元を持たない。
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>>905
了解。前半は>>868の第一段落によるわけですね。
後半は部分集合の部分集合はまた部分集合というわけですね。
>>906
了解。
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Ｂ）切片と超限帰納法
Wを整列集合,aをその元とします.このとき{x|x∈W,x<a}をWのaによる切片といい
W<a>と書きます.
W<a>=Φ⇔a=minWです.実際演習スレ>>8を使えばW<a>=Φ⇔W-W<a>=W⇔{x|x∈W,x≧a}=W⇔a=minW.
また>>905でLAR-menさんが述べてくれたように
a*がaの直前の元⇔a*=maxW<a>.
です.
aが直前の元をもたないとすると,任意のW<a>の元xに対してx≦aですからaはW<a>の上界のひとつです.
a'がW<a>の任意の上界であるとすると,a'<aではありえません.a'<aであるならa'∈W<a>となってしまい,
a'=maxW<a>すなわちa'はaの直前の元という矛盾を起こしてしまいます.だからa≦a'.
以上より,
aが直前の元を持たないならばa=supW<a>
が成り立ちます.
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超限帰納法の原理を説明しましょう.
次が成り立ちます.
W'を整列集合Wの部分集合とします.このとき
W<a>⊂W'⇒a∈W'が成り立つならW'=Wが成り立つ…☆
証明 Wが整列集合であるのでW-W'≠Φならmin(W-W')が存在する.
W-W'=V,a=minVとおくとW<a>∩V=Φ,即ちW<a>⊂V^c=W'.
☆の仮定によりa∈W'.矛盾.
☆は言い換えると次の定理２が正しいことの保障になっています.
定理２ 整列集合Wの各元aに対してひとつの命題P(a)が対応しているとする.
このとき次の★が成り立てば,Wのすべての元aに対してP(a)は真である.
★…aがWの任意の元とするとき,x<aであるWの元xについてP(x)が真であるなら,P(a)も真.
定理２の証明 W'={x|x∈W,P(x)が真}とおく.このとき★が成り立つとすると,
「x<aであるWの元xについてP(x)が真であるなら,P(a)も真｣を仮定したことになるが,
このことは言い換えれば「W<a>⊂W'⇒a∈W'が成り立つ｣である.
☆によりこのときW'=Wであるがこのことは,すべてのWの元aに対してP(a)が真であることを
表している.■
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定理２による論証法はW=Nのとき数学的帰納法,一般のWのとき超限帰納法といいます.
a=minWのとき★は
x<minWであるxについてP(x)が真ならP(minW)も真
になりますが,これは
(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)⇒P(minW)が真
即ち
¬(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)∨P(minW)が真
となり
¬(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)
が矛盾式であるので結局
P(minW)が真
のみを仮定することと同じです.
実際に超限帰納法を用いて証明するときは
1.P(minW)が真
2.minWでない任意のWの元aについて,x<aなるWの元xに対してP(x)が真ならP(a)も真
の2つを示すことになります.
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切片を特徴付ける補題を紹介します.
補題１ Jを整列集合Wの部分集合とする.Jが条件
★★ x∈J,y∈W,y<x⇒y∈J
をみたしているならばJはWと一致するか何らかのWの元の切片と一致する.
証明 ★★をみたすJがJ≠WであるとするとW-J≠Φ.整列集合の定義より
min(W-J)が存在する.
x∈J,x>min(W-J)であるとすると★★よりmin(W-J)∈Jとなってしまい,
x∈J,x=min(W-J)であることはありえない.
よってx∈Jならx<min(W-J)となりx∈W<min(W-J)>.即ちJ⊂W<min(W-J)>.
また,(W-J)∩W<min(W-J)>≠Φであるとするとx∈(W-J)∩W<min(W-J)>
なるWの元xが存在することになるがx∈W-Jだからmin(W-J)≦xとなりx∈W<min(W-J)>
とはなりえない.よってW<min(W-J)>⊂J.■
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a,bが整列集合Wの元であるとします.
このときa≦bであるとするとW<a>⊂W<b>が成り立ちます.
なぜなら,x∈W<a>であるとするとx<aであり,推移律によりx<bが成り立ち,したがって
W<a>⊂W<b>が成り立ちます.
逆にW<a>⊂W<b>であるとするとa≦bが成り立ちます.
なぜなら,W<a>⊂W<b>,a>bであるとすると,b∈W<a>,¬(a∈W<b>)という矛盾が起きます.
以上よりa≦b⇔W<a>⊂W<b>が成り立ちます.
したがって,順序集合(W,≦)から順序集合({W<a>}_[a∈W],⊂)への写像fを
f:W∋x|→W<a>∈{W<a>}_[a∈W]
と定めると,x≦y⇒f(x)⊂f(y)が成り立つので,fは順序写像,
f(x)⊂f(y)⇒x≦yも成り立つので,fは順序単射.さらに,
任意の{W<a>}_[a∈W]の元W<x>に対して,f(x)=W<x>なるWの元xがあるので,fは順序同型写像
となります.
またa<bであるなら(W<b>)<a>=W<a>となります.
実際,x∈(W<b>)<a>ならx<aだからx∈W<a>,即ち(W<b>)<a>⊂W<a>が,
x∈W<a>ならx<aだから推移律よりx<bだからx∈W<b>かつx<aが成り立つのでx∈(W<b>)<a>,
即ちW<a>⊂(W<b>)<a>が成り立ちます.
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>>911
ここにも演習スレ>>8が。この部分本よりこっちのほうが理解できます。
>>912
＞W<a>⊂W<b>,a>bであるとすると,b∈W<a>,¬(a∈W<b>)という矛盾が起きます
ここは¬(b∈W<b>)の間違いでは？
後は納得です。
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>>913
そうなんです。演習スレ>>8大活躍です。
そうです。そのとおりの間違い。スマソ。
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C) 整列集合の順序同型
本項では、次項D)で"整列集合の比較定理"を証明するための準備として、
整列集合の順序同型に関する二三の補題を述べよう。
補題２ fを整列集合Wからそれ自身への順序単射とすれば、Wのすべての
元xに対してf(x)≧xが成り立つ。
証明 仮に、f(x)<xとなるようなWの元xがあるとすれば、
M={x|x∈W,f(x)<x}
は空でないから、minM=x_0が存在する。x_0∈Mであるから、f(x_0)<x_0で、
fは順序単射であるから、これよりf(f(x_0))<f(x_0)･･･(*)。したがってf(x_0)
もMの元となる。これはx_0がMの最小元であることに反する。
(*)については(1.7)の対偶および演習スレ>>8により得られる。
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補題３ 整列集合Wはその任意の切片と決して順序同型にならない。また
a,bをWの異なる2元とすれば、W<a>とW<b>も順序同型にならない。
証明 もしWからその切片W<a>への順序同型写像fが存在したとすれば、
f(の終集合をWに変えた写像)はWからそれ自身への順序単射で、f(a)∈W<a>
であるから、f(a)<a。これは補題２に反する。したがって、WとW<a>は順序同型
でない。後半はa≠bならばW<a>,W<b>の一方が他方の切片となることに注意
すれば、前半に帰着する。
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補題４ 整列集合W,W'が順序同型ならば、Wの任意の切片W<a>に対して、
それと順序同型になるようなW'の切片W'<a'>が存在する。かつ、このとき
a'はaに対して一意的に定まる。
証明 fをWからW'への順序同型写像とすれば、明らかに、
f(W<a>)=W'<f(a)>･･･(*)
となるから、fの定義域をW<a>に縮小し、かつ終集合をW'<f(a)>に変えれば、
W<a>からW'<f(a)>への順序同型写像が得られる。よって、f(a)=a'とおけば、
W<a>〜W'<a'>となる。また、W<a>〜W'<a'>となるようなa'が(aに対して)
一意的に定まることは、補題３(および(1.9)(1.10))から明らかである･･･(#)。
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〜は記号が出なかったため略記しています。正確には〜の下にーです。
(*) f(W<a>)={y|∃x(x∈W<a>,f(x)=y)}={y|∃x(x∈W,x<a,f(x)=y)}
={y|∃x(x∈W,f(x)∈W',f(x)<f(a),f(x)=y}={y|∃x(x∈W,f(x)=y,y∈W',y<f(a)}･･･
だめだ失敗o...rz
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(#) 一意的に定まらないと仮定するとW<a>〜W<b>,W<a>〜W<c>となる異なる2元b,c
がとれるが、W<b>〜W<a>,W<a>〜W<c>よりW<b>〜W<c>これは補題３の後半に反する。
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本項の最後に、上の補題４(およびその証明)から得られる１つの定理を
挙げておく。
定理３ 整列集合W,W'が順序同型ならば、WからW'への順序同型写像は
一意的に定まる。特に、Wからそれ自身への順序同型写像は、W上の恒等写像
I_Wのほかにない。
証明 W〜W'とし、f,gをともにWからW'への順序同型写像とする。そうすれば、
Wの任意の元aに対し、補題４の証明で示したように、W<a>〜W'<f(a)>,W<a>〜W'<g(a)>
となるから、一意性によってf(a)=g(a)。ゆえにf=g。定理の後半は前半から明らか
である。
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すいません>>918どなたかおねがいします
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>>915
(1.7)は>>874の(1.7)ですね.レスアンカー,できるだけ付けてくれると嬉しい.
>>916
後半は>>912の後半(と例によって演習>>8)によるわけですね.
>>918
(W,≦),(W',≦')を整列集合,fをWからW'への順序同型写像であるとすると
fは順序単射だから単射,またfは全射だから全単射.
よって,例の演習>>8より
x<y⇔¬(x≧y)⇔¬(f(x)≧'f(y))⇔f(x)<'f(y).
この結果を用いれば,fは全単射でもあることから
y∈f(W<a>)⇔f^{-1}(y)∈W<a>⇔f^{-1}(y)<a⇔y<f(a)⇔y<a'⇔y∈W'<a'>.■
>>919
えと,すんません.よくわかりません.W'<a'>がでてくる書き方で書いてもらえると
わかりやすいかと.
>>920
「明らか」…遣いたくなる気もわかるんですが,説明してみてください.
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補足.
fが順序同型写像なら,f^{-1}もそうですね.
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すいません
>>919訂正
(#) 一意的に定まらないと仮定するとW<a>〜W'<b>,W<a>〜W'<c>となる異なる2元b,c
がとれるが、W'<b>〜W<a>,W<a>〜W'<c>よりW'<b>〜W'<c>これは補題３の後半に反する
>>920
I_WはWからWへの順序同型写像。また前半よりWからWへの順序同型写像は一意的に定まる。
したがって、Wからそれ自身への順序同型写像は、W上の恒等写像I_Wのほかにない。
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>>922
>>918の解答ありがとうございました。納得です。
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>>924
了解。納得です。
乙でした。
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これからもLAR-menをよろしく。
ﾆｬﾋｰ
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いよいよ復帰・・・！
>>793
Bが空集合になることは考えなくていいのでしょうか。
>>868
Aに最大元、最小元が存在するなら、Aは全順序集合でおｋですか？
早速D）にとりくみたいと思います。
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第3章 順序集合，Zornの補題
§2 整列集合とその比較定理
p103 D)整列集合の比較定理
前項の補題3、補題4、および前々項の補題1を用いて、整列集合に関する重要な次の
定理が証明できます。
定理4(比較定理)
W,W'を２つの整列集合とすれば、次の三つの場合のいずれか一つ、しかも一つだけが成立
1)W〜W'(〜は順序同型の意)
2)∃a'∈W'；W〜W'<a'>
3)∃a∈W；W<a>〜W'
なお、上の2),3)の場合にa,a'は一意的に定まる。
証明
簡単にわかるところから示していきましょう。
・「2),3)の場合にa,a'が一意的に定まること」
2)のとき、W'の二元a',b'に対しW〜W<a'>∧W〜W<b'>とすると、
交換律(1.9),推移律(1.10)>>874から、W<a'>〜W<b'>となるが、補題3よりa'=b'となる。
3)のときも同様。
・「1)2)3)のどの2つの場合も両立しないこと」
1)と2)が両立すると仮定すると、おなじく交換律と推移律からW'〜W'<a'>となるが、
補題3に矛盾する。1)と3)の場合も同様。
2)と3)が両立すると仮定する。W〜W'<a'>であるから、補題4よりW<a>はW'<a'>のある切片
(W'<a'>)<b'>と順序同型になる。しかるに(W'<a'>)<b'>=W'<b'>なので、
(∵x∈(W'<a'>)<b'>⇔x<a'∧x<b'∧b'<a'⇔x<b'<a'⇔x∈W'<b'>)
W<a>〜W'<b'>。3)より、W'<b'>〜W'。これは補題3に矛盾。
1)2)3)のいずれかが成立ことを示す、本格的な議論は次からですが、一読しただけでは
わけがわからなかったので具体例を作ってみました。
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運動会の玉入れを考えてみて下さい。赤組が7個、白組が5個入れたとします。
競技終了後、かごから一つずつ玉を取り出し、取り出した順に赤組は
①②③・・・,白組は⑪⑫⑬・・・というシールを貼り、左から一列に並べてみます：
赤組 ①②③④⑤⑥⑦ これを元とした集合をWとします。
白組 ⑪⑫⑬⑭⑮ おなじくこれを元とする集合をW'とします。
W,W'は整列集合です(順序は○の中の自然数の大小関係と考えてください)。
さて、玉をより多く入れたのは・・・明らかに赤組ですね。でもどうしてすぐにそう判断できた
のでしょうか？そう考えてみると、無意識のうちに、頭の中で①と⑪、②と⑫・・・というペア
がどこまで作れるか、で比較していることがわかると思います。この場合⑤と⑮が最後の
ペアで、⑥⑦に対応する白組の玉はありません。したがって赤組がより多くの玉を入れた
とわかります。ここで、①を⑪に、②を⑫に、・・・⑤を⑮に対応させているわけですが、
この対応fはW<⑥>からW'への順序同型写像にほかなりません。
よってこの場合定理4の3)が成立しています。
鍵になるのは順序同型な集合{①,②,③,④,⑤}と{⑪,⑫,⑬,⑭,⑮}を構成したことです。
そこで、定理4の証明の方針です。W<x>〜W<x'>をみたすx,x'の組を考え、
J={x∈W｜∃x'∈W'；W<x'>〜W<x>}、J'={x'∈W'｜∃x∈W；W<x>〜W'<x'>}とおく。
J〜J'を示す。JがWorその切片、かつJがW'orその切片となることを示す。JもJ'も切片となる
ことは、J,J'の元以外のペアが余っていることになり、不適。よって1)or2)or3)。
こんな感じです。
これで俺は以下に書く証明を不自然だとは思わなくなりました。
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しかし、上の方針で行く時一つ大きな山場があります。
＞JがWorその切片、かつJがW'orその切片となることを示す。
ここです。ここで、(定義以外で)「○○ならば、Jは切片」という定理は今まで一つしか
示されていないことに注意しましょう。それは補題1>>911です。これを利用します。
すなわち、x,y∈Wに対しx∈J∧x>y⇒y∈Jを示せばいいことになります。
これはどうやって示せばいいか？さきほどの具体例で考えてみます。
試しに、④∈Jのとき、③∈JをJの定義からみちびきます。
③∈J⇔∃x'∈W'；W'<x'>〜W<③>(この場合x'=⑬)を導くのが目標ですが、
④∈Jより∃x'∈W'；W'<x'>〜W<④>(この場合x'=⑭)なので、補題4により
∃x'∈W'；W<x'>〜(W<④>)<③>=W<③>なので示せました。
同様にして、J'もW'orその切片であることが示せます。
前置きが大分長くなりました。それではちゃんとした証明です↓。
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(>>929に続く)
・「1),2),3)のいずれかの場合が必ず成立すること」
x∈W,x'∈W'に対し、条件
(*)W<x>〜W<x'>
という関係を満たす組を考える。
J={x∈W｜∃x'∈W'；W'<x'>〜W<x>}、J'={x'∈W'｜∃x∈W；W<x>〜W'<x'>}とおく。
補題3により、各x∈Jに対し(*)を満たすx'∈J'が一意的に定まり、逆に各x'∈J'に対し
(*)を満たすx∈Jも一意的に定まる。よって、Jの各元xにJ'の各元x'を対応させる写像fは、
J'からJへの全射でありJからJ'への全射、すなわちJからJ'への全単射である。
次に、以下の(a)(b)(a')(b')を示す。
(a)Wの部分集合Jは、補題1の条件(2.2)すなわち∀x,y∈W；x∈J∧x>y⇒y∈Jを満たす
(b)∀x,y∈J；x>y⇒x'>y'(ただしf(x)=x',f(y)=y')
(a')W'の部分集合J'は、補題1の条件(2.2)すなわち∀x',y'∈W'；x'∈J'∧x'>y'⇒y'∈J'を満たす
(b')∀x',y'∈J'；x'>y'⇒x>y(ただしf^(-1)(x')=x,f^(-1)(y')=y)
(a)(b)を示せば、同様の議論で(a')(b')も示される。
(a)
x∈J∧x>y⇔W<x>〜W'<f(x)>∧x>y⇔W<x>〜W'<x'>。W<y>はW<x>の切片となるから、補題4
より、∃y1'∈W'<x'>；(W<x'>)<y1'>〜W<y>⇔∃y1'∈W'<x'>；W'<y1'>〜W<y>。∴y∈J。
(b)
一意性によりy1'=f(y)=y'。y1'∈W<x'>⇔y1'>x'。∴x'>y'。
(b)と(b')よりfはx≧y⇔f(x)≧f(y)をみたすから、順序同型写像である。
(a)によりJはW全体となるかまたはWのある切片W<a>と等しい。
(a')によりJ'はW'全体となるかまたはW'のある切片W'<a>と等しい。
よって以下の4通りが考えられる。
(i)J=W∧J'=W'のとき：定理4の1)が成立。
(ii)J=W∧J'=W'<a'>のとき：定理4の2)が成立。
(iii)J=W<a>∧J'=W'のとき：定理4の3)が成立。
(iv)J=W<a>∧J'=W'<a'>のとき：J〜J'⇔W<a>=W'<a'>よりa∈JだがこれはJ=W<a>に反する。
以上により定理4は完全に証明された。□
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>>932で
＞(b)一意性によりy1'=f(y)=y'。y1'∈W<x'>⇔y1'>x'。∴x'>y'。
のy1'>x'はy1'<xの間違いです。
あとW´がWになっているところが何箇所かあります・・・ｽﾏｿ
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亀レス御容赦
>>827(3.11)
証明そのものに全く異論はありませんが、命題の設定は
m≦m',n≦n'⇒n^m≦n'^m'じゃないですか？既出だったらｽﾏｿ
>>932(b)の証明で、
＞一意性により・・・
とありますが、何の一意性かというと、補題4>>917の、
「W〜W'ならW<a>〜W'<a'>なるa,a'が一意的に定まること」
これです。
次の§3A)も俺が担当します。よろすく
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>>928
B=Φとすると,すべてのMの元aに対してa∈g(a)だからg(a)とBが一致することはありません.
というふうにB=Φのケースを別に考えてもいいのですが,「a∈g(a)ならば¬(a∈B)」と
「¬(a∈g(a))ならばa∈B」はB=Φであるときも真なる命題ですので,
>>793はB=Φのケースを含んでいます.
>>929
概ね了解です.
下から五行目(W'<a'>)<b'>=W'<b'>の理由は,W'<a'>は整列集合の部分集合だから
再び整列集合,b'∈W'<a'>ならb'<a'であることと>>912が理由でよいのでは.
臺地くんの書き方だとx<b'<a'⇔x∈W'<b'>のx∈W'<b'>⇒x<b'<a'はなんで？a'って？
っていうふうな疑問がわいてきかねない.
>>930-931
証明の本質的なアイデアの紹介,乙です！！松坂先生も実際の授業では,
このレスのようなことを喋ってから,証明に入ったんじゃないでしょうか.
マカーのROMさんがいるかもしれないので丸数字はよしたほうがよいかと.
>>932
七行目,「補題３により」は「補題４により」ですね.
fが全単射である説明が,ちょっとヘンでは？
(a)の証明中,W<x>〜W'<f(x)>∧x>y⇔W<x>〜W'<x'>とありますが,x'ってf(x)のことですか？
x>yはどこいったんですか？
大筋はおｋです.
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>>934
ああ,済みませぬ.>>827は多分,仕事場で,本なしで書いた原稿です.
えと,過去のレスを参照しながら読むことが多いので,できるだけ
レスアンカーをつけてもらえると嬉しいです.
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>>935
・928について
納得です。
これと関連して､写像の始集合や終集合がφである場合は考えなくていいのかなと
おもったんですが、こっちはあとがきに書いてありました。
・929について
なるほど。>>912で既に出てましたね。でも一応訂正しておきます。
「a'>b'のもとで、x∈(W<a')><b'>⇔x<b'⇔x∈W<b'>∴(W<a')><b'>=W<b'>」
・930について
どうもです。これからもできるだけ具体例を挙げていきたいんですが、結構きつい。。
丸数字、気をつけます。
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続き
・932について
＞補題3→補題4、その通りです。すみません
＞fが全単射である説明
>>932修正版
「補題4により、各x∈Jに対し(*)を満たすx'∈J'が一意的に定まり、補題3によりxの値が異な
ればx'の値も異なる。よって、各x∈Jに、このようにして定まるx'∈J'を対応させる対応をfと
するとfは写像で、fはJからJ'への単射。逆に各x'∈J'に対し(*)を満たすx∈Jも一意的に定ま
るから、fは全射。したがってfはJからJ'への全単射である。」
＞x'ってf(x)のことですか？
そうです。932中、
＞(b)∀x,y∈J；x>y⇒x'>y'(ただしf(x)=x',f(y)=y') に書いたつもりでした。
＞x>yはどこいったんですか？
完全にミスでした。「W<x>〜W'<f(x)>∧x>y⇔W<x>〜W'<x'>∧x>y」に訂正します。
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>>934
了解です。テクストなしですか・・・！
＞レスアンカー
すみません。できるだけ付けるよう気をつけます。
本の記述を微妙に変えることがあり、かえってわかりにくくなったりミスが出ることと思います
が、ガンガン指摘してください。
それでは次節に進みましょう。長いですけど(A)は直観的には難しくないと思います。
(B)項でついにZornの補題(なぜに補題？ちなみに"主題"があったりするのか？)
を証明します。一番おいしい所を持っていくのは・・・誰？(･∀･)
-
第3章 順序集合,Zornの補題
§3 Zornの補題，整列定理
p105 A)整列集合に関する一命題
ついに本章のメインテーマ・ツォルンの補題、整列定理に入ります。
これらの命題はあとで書くように実は選出公理と論理的に同等のものですが、数学の理論へ
の応用には、これらの命題の形の方が選出公理よりも効果的であることが多いのです。
本項ではこの命題を証明するための準備として、整列集合に関する一つの補題を示します。
これは本質的には簡単なものです。(Λと∧がまぎらわしい所は「かつ」と日本語を使用)
補題1
(W_λ)_λ∈Λは集合A(順序集合とは限らない)の部分集合族である。各W_λにはそれぞれ
順序≦_λが定められており、(W_λ,≦_λ)は整列集合を為しているとする。また、Λの異なる
二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になっている。
このとき、以下の(1)〜(5)が成立する：
(1)∀(x,y)∈W^2(∃λ∈Λ；x∈W_λかつy∈W_λ)
(2)(1)の場合、x(≦_λ)yであるか、y(≦_λ)xであるかに応じてx≦y,y≦xと定義すれば、
関係≦は x∈W_λかつy∈W_λ・・・(*) を満足するλに依存せず定まる
(3)W=∪_[λ∈Λ]W_λとおくと、≦はWにおける順序関係
(4)(W,≦)は整列集合
(5)任意のλ∈Λに対し、(W_λ,≦_λ)は(W,≦)と一致するかまたはその切片となる
-
>>940の続き
証明
(1)
x,y∈Wとすれば、W=∪_[λ∈Λ]W_λであるから、
∃(λ,λ')∈W_λ×W_λ'；x∈W_λかつy∈W_λ'
ここで、仮定によりW_λ'⊂W_λまたはW_λ⊂W_λ'
W_λ'⊂W_λのとき、yもW_λの元となるから命題は成立。W_λ⊂W_λ'のときも同様。
(2)
x,y∈Wとし、(x,y)∈W_λ^2かつ(x,y)∈W_λ'^2を仮定する。(λ≠λ')
条件より(W_λ,≦_λ)、(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片、従って部分順序集合
であるから、x(≦_λ)y⇔x(≦_λ')y；y(≦_λ)x⇔y(≦_λ')x
よって、x≦yとy≦xの定義は(*)を満足するλのとり方によらない。
(3)
(1)と同様にして∀(x,y,z)∈W^3(∃λ∈Λ；(x,y,z)∈W_λ^3)。これより≦がWにおける
順序関係であることを示す。定義によりW_λの上で≦_λと≦とは一致。
x≦x⇔x(≦_λ)xは真なので反射律が成立。
x≦y∧y≦x⇔x(≦_λ)y∧y(≦_λ)x⇔x=yは真なので反対称律が成立。
x≦y∧y≦z⇔x(≦_λ)y∧y(≦_λ)z⇒x(≦_λ)z⇔x≦zは真なので推移律が成立。
以上より示された。
-
>>941の続き
(4)
Mを任意の空でないW=∪W_λの部分集合とするとき、≦に関するMの最小値が存在すること
を示す。M≠φより、∃λ∈Λ；M∩W_λ=φ。このようなλについて、(W_λ,≦_λ)が整列集合
であることから≦_λに関するmin(M∩W_λ)=aが存在する。a=minMを示す。
xをMの任意の元とするとき、x∈W_λと¬(x∈W_λ)の一方のみが必ず成立。
x∈W_λならば、x∈M∩W_λよりもちろんa(≦_λ)x⇔a≦x。
¬(x∈W_λ)ならば、∃λ'∈Λ；λ'≠λかつx∈W_λ'。このようなλ'に対して、問題文より
(W_λ,≦_λ)と(W_λ',≦_λ')の一方は他方の切片であるが、¬(W_λ'⊂W_λ)なので
(W_λ,≦_λ)が(W_λ',≦_λ')のある切片W_λ'<b'>となる。
a∈W_λ∧x∈W_λ'-W_λ∴x(≧_λ')b'(>_λ')a(¬(x<b')⇔x≧b'を利用)∴x≧a
したがって、任意のx∈Mに対し、x≧aであるから、a=minM。
(5)λは任意固定
W_λが他のW_λ'を全て含むならば、W_λ=W。よって(W_λ,≦_λ)と(W,≦)は一致する。
そうではないときを考える。W_λ上で≦_λと≦は一致している、つまり(W_λ,≦_λ)は(W,≦)
の部分順序集合。前者が後者の切片であることを示す。補題1を利用する。
すなわち、x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示せばよい。
W_λ'∋x,yなるλ'をとると、整列集合の比較定理より、(W_λ',≦_λ')=(W_λ,≦_λ)
(⇔λ=λ')か、(W_λ',≦_λ')が(W_λ,≦_λ)の切片であるか、(W_λ,≦_λ)が
(W_λ',≦_λ')の切片になるか、のどれか一つだけが必ず成立する。
前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは恒真式だから命題は成立。
最後の場合は、x∈W_λ∧y∈W_λ'∧x(>_λ')yよりy∈W_λ'<x>よってy∈W_λが言え、
≦_λ'と≦が一致していることから命題は成立。よって示された。
以上より補題1が完全に証明された。□
-
補題1で、Aが順序集合(A,≦)であり、各λで≦_λは≦に一致すると考えると次の系が
得られます。次項B)の補題2の証明でこの系が利用されます。
系
(W_λ)_λ∈Λを順序集合Aの部分集合族とし、各W_λはAの部分順序集合として整列集合
であるとする。また、λ,λ'をΛの異なる二元とすれば、W_λ,W_λ'のいずれか一方は他方の
切片になっているものとする。このとき、∪_[λ∈Λ]W_λ=WもAの部分順序集合として整列
集合である。しかも、任意のW_λは、W全体と一致するかまたはその切片となる。
-
>>937-938
訂正おｋです.
>>939
＞ガンガン指摘してください.
では,遠慮なく.
>>940
(1)のWはなんですか？A？(3)のW？
>>941
(1)の証明読むと>>939の(1)のWは(3)のWみたいだけど,
初登場の文字は,初登場時に説明しないと,わかり辛いですよ.
(1)の証明中の「仮定より」って「W_λとW_λ'は,必ず一方が他方の切片」
っていう仮定ですね.
-
(2)の証明について.
「(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片」
とは,たとえばW_λがW_λ'の切片になるケースでは,
≦_λが≦_λ'の制限になることを含意しているのですね.
そこら辺をもうチョット説明してほしかったですね.
二行目「条件より」の条件ってどの条件？
(3)の証明.
おｋです.
>>942
(4)の証明について.
二行目,∃λ∈Λ；M∩W_λ=φは,∃λ∈Λ；M∩W_λ≠φですね.
M≠Φのときこのことがいえるのは初学者むけの演習かもしれませんね.
第二パラグラフ一行目,「問題文より」は問題文のどの部分ですか？
そもそも,問題文ってどの文のことですか？(小姑みたいでゴメンネ).
大筋はおｋ.
-
(5)の証明について.
＞W_λが他のW_λ'を全て含むならば、W_λ=W。
∀λ'∈Λ-{λ},W_λ'⊂W_λならばW=(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ=W_λ⊂W
が理由ね.書いてほしかった.
第一パラグラフ四行目の補題1ってのは三章二節の補題1(>>911)のことですね.
一瞬,証明中に証明すべき補題をつかったのかとおもいましたよ.
-
第二パラグラフ一行目.W_λ'∋x,yはW_λ'∋yですか？「整列集合の比較定理」は>>929ね.
第二パラグラフ二行目冒頭.(W_λ)_λ∈Λってのは集合族ですよね.
集合族ってのはΛを始集合とし,値を集合にとる写像ですよね(>>550-551参照).
この写像は別に単射ってわけじゃあ,かなわずしもない.だとしたら(⇔λ=λ')は変じゃない？
第二パラグラフ四行目.恒真式の意味をちゃんと説明しなかったこっちが悪いんだけど。。。
えと,一般的な定義は論理学の範疇だから,詳しくはそっちをご覧下さいっていわんと
いかんのだけど,例えばpとqでできた命題(例えば(¬p∨q)⇒(p⇒q)とか)が恒真式とは,
pとqの真理値の組み合わせがいかなるものであっても命題自体の真理値が常に真となる命題
のことです.このレスの場合,(W_λ,≦_λ)=(W_λ',≦_λ')のときは
λ'=λだから仰るようにたしかにy∈W_λ'⇒y∈W_λは「p⇒p」で恒真式ですが,
(W_λ',≦_λ')が(W_λ,≦_λ)の切片のとき,y∈W_λ'⇒y∈W_λが成り立つのは
単にW_λ'⊂W_λが成り立つから,これと同値な命題は当然成り立つって話で,
恒真式じゃないですね。(p⇒qって命題が恒真式なはずがないですね).
第二パラグラフ五行目.x∈W_λ∧y∈W_λ'∧x(>_λ')yよりy∈W_λ'<x>
の「より」は「を仮定するなら」の意味ですね.「より」だと「はすでにいえてるから」
といってるようにも見えます.
＞y∈W_λ'<x>よってy∈W_λが言え、
これは理由書いてくださいよ.
>>943
了解.
-
>>944
・>>940について
そうです。その通りです。本来の問題文は
＞(前略)このとき、W=∪_[λ∈Λ]W_λとおくと、以下の(1)〜(5)が成立する
でした。(1)(2)にW出てこないから(3)に入れちゃえと思ってたら(1)に出てました・・・。
＞仮定より、問題文より、条件より・・・ってどこ？
すべて直後に書いてあります。テキストで登場が唐突だったのでこの言葉を入れたものです。
かえってわかりにくくなったでしょうか。とりあえず表現を「問題文より」に統一すべきでした。
>>945
・>>941について
説明不足了解。
・>>942について
そのとおりです。すみません
-
>>946
＞∀λ'∈Λ-{λ},W_λ'⊂W_λならばW=(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ=W_λ⊂W
なるほど。こういうこと書く時に、どこまで書くものなんでしょう？そこまで書いたのなら
＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ
も書くべきだと思う人がいるかもしれません。加減がわからないです・・。
補題1、レスアンカー付け忘れてましたすみません。気をつけます。
でも直後の言葉ですぐわかってもらえたのではないでしょうか。
>>947
恐縮ですが・・・段落分け、お願いします
＞W_λ'∋x,yはW_λ'∋yですか？
xとyを両方とも含むW_λ'を考えるということです。このようなλ'の存在は(1)で示してます。
＞(⇔λ=λ')は変じゃない？
ちょっと意図をはかりかねます。先生自身もその後で
＞(W_λ,≦_λ)=(W_λ',≦_λ')のときはλ'=λだから
と書かれていますが・・・。問題文によれば、
「Λの異なる二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になり
決して等しくはならない」ことから、(W_λ',≦_λ')=(W_λ,≦_λ)⇔λ'=λは正しいと思います。
-
>>947続き
＞恒真式
知ったかぶって言葉を使うのはよくないみたいですね。
もっと勉強してからそういう言葉を使うようにします。
>>942修正その1
「前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは常に真だから命題は成立。」
＞「より」は「を仮定するなら」の意味ですね
そうです。俺は先に掲げていた
＞x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λ
のx∈W_λ∧y∈W∧x>yを前提条件にして考えていたのだと思います。
＞＞y∈W_λ'<x>よってy∈W_λが言え、
＞これは理由書いてくださいよ.
「(W_λ,≦_λ)が(W_λ',≦_λ')の切片であるから、W_λ=W_λ'<a>とおく。
x∈W_λだからx<aで、W_λ<x>=(W_λ'<a>)<x>=W_λ'<x>。
よってy∈W_λ'<x>ならばy∈W_λ<x>⊂W_λ∴y∈W_λ。」
-
>>948
えーっと。我々は問題を解いているのではなく、テクストを解読してるわけでありまして、
テクストの中に「問題」は演習のページを除いて一切ありません。補題はlemmaの訳で
補助命題とでも言うべきものです。補題や命題や定理の主張内容のことは、
ステートメントと言います。
＞とりあえず表現を「問題文より」に統一
したりしないで下さい。「仮定より」とかくより「かくかくしかじかという仮定より」と
書いてほしいだけです。
-
>>949
＞＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ
＞も書くべきだと思う人がいるかもしれません。
？。書いてあると思うけど。？？
＞加減がわからないです・・。
ご自分でテクストを読まれたとき、著者の主張にたいしてご自分で主張の成り立つ理由を、補足
されながら進むような箇所については、その主張の成り立つ理由も書く、という基準は
いかがでしょう。とりあえず、次スレのテンプレには
･テクストを持ってない人が読んでもわかるレスを心がけましょう。
･大学受験生にとってセルフコンテインドになるくらいのスレッドになるよう心がけましょう。
･過去ログ、過去レスを参照して読むことが多くなるでしょう。レスアンカーを忘れずに。
くらいは書いとこうと思ってます。まあ、自分の思うとおりに書いて、質問がきたり
もう少し詳しく書いてっていう要請が来たりすれば、より詳しく書けばいいと思いますよ。
で、あまりに質問が来るようだと、全体にもう少し詳しく書く方針にすればいいし、
逆に、そんなに詳しく書かんでも。。ってレスが沢山くるようであれば、全体にもう少し
省略して書く方針にすればいいと思いますよ。
-
>>949(つづき)
＞段落わけ
すんませんでした。
＞xとyを両方とも含むW_λ'を考えるということです。このようなλ'の存在は(1)で示してます。
？。たしかにこのようなλ'の存在は(1)で保証されてるけど。。
x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示すつもりなのでしょう？
x⊂W_λとy∈Wとx>yを仮定すると,y∈Wだから∃λ'∈Λ(y∈W_λ')がいえて,
整列集合の比較定理によって場合わけされたケースのうち,
W_λ=W_λ'のケースはx>yなんぞを仮定してもしなくてもy∈W_λが言え,
W_λ'がW_λの切片のケースはW_λ'⊂W_λなんだから,
これもx>yなんぞを仮定してもしなくてもy∈W_λがいえる
って言うわけでしょう？
xがW_λ'の元と限定するなら
x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λ
ではなくて
x∈W_λ∩W_λ'∧y∈W_λ'∧x>y⇒y∈W_λ
をいうことになりませんか？
-
>>949(その3)
＞ちょっと意図をはかりかねます。先生自身もその後で
＞＞(W_λ,≦_λ)=(W_λ',≦_λ')のときはλ'=λだから
これは僕の書き間違いです。
(W_λ,≦_λ)=(W_λ',≦_λ')のときはW_λ'=W_λだから
と書くつもりでした。すんませぬ。
＞問題文によれば
たしかに問題文に(じゃなくて補題の仮定に、だけど)、
λ≠λ'⇒W_λ≠W_λ'
つまり集合族が単射って仮定がかかれてありますね。すんませんでした。
書いてほしかったけどね。
でもこの補題自体は、集合族が単射でなくたってなりたつんじゃない？
-
>>950
＞>>942修正その1
＞「前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは常に真だから命題は成立。」
あの。。
W_λ'=W_λのときはy∈W_λ'⇒y∈W_λは恒等式です。
W_λ'がW_λの切片のときは、W_λ'⊂W_λ(が真)だからy∈W_λ'⇒y∈W_λ(も真)です。
前者においては前件(後件と同じ文)が真であっても偽であっても「常に」y∈W_λ'⇒y∈W_λは真ですが,
後者において「常に」真ってどういうことですか？
-
>>950(つづき)
＞＞「より」は「を仮定するなら」の意味ですね
＞そうです。
「pがなりたつときqである」を示す際、pより云々で、云々だからカンヌンで、カンヌンだからq
って書き方をすると、まるでpは仮定ではなく、既にいえてしまった事実のような印象を
与えてしまいませんか？
こういうとき「より」を使いたいなら、先ず最初に「(以下では)pを仮定する」とでも
書いておけば、文の不自然さはまぬかれると思いますが。
＞「(W_λ,≦_λ)が(W_λ',≦_λ')の切片であるから、W_λ=W_λ'<a>とおく。
＞x∈W_λだからx<aで、W_λ<x>=(W_λ'<a>)<x>=W_λ'<x>。
＞よってy∈W_λ'<x>ならばy∈W_λ<x>⊂W_λ∴y∈W_λ。」
おｋです。>>912使いましたね。
なんだかきつい物言いになってしまって、気を悪くなさらないで下さい。
反論遠慮なくどぞ。
これからもよろしく。。
-
>>951
あ・・・とんでもない勘違いでした。「問題」じゃないですよね。直します。
「仮定より〜」と直後に書くのでなく「〜というのが仮定だから」と直前に書けってことですか？
直前でも直後でもそそれほど変わらないと思いますが、そんなにわかりにくいですか？
>>952
＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λとなる理由を・・・
というのが趣旨でした。
＞セルフコンテインド
って何でしょう？
＞自分の思うとおりに書いて・・・
そうすることにします。考えてみればそのための輪読会ですからね
>>953
＞x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示すつもりなのでしょう？
そのとおりです。
＞W_λ=W_λ'のケースは・・・って言うわけでしょう？
相違ありません。
＞xがW_λ'の元と限定するなら・・・をいうことになりませんか？
これもそのとおりなんですが・・・
xとyとλは与えられたもので、任意固定です。目標は上に書いたとおり
x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示すことです。ところがこのままでは、
yとx∈W_λとを関連付けて議論の出来る存在がなくて困っています。そこで、
xとyの両方を元として含むW_λ'⊂W=∪W_λ(このλは変数)を設定できるので、
そこで議論しているわけです。λ'はxとyを関連付けるために取っているのです。
結局x∈W_λ∩W_λ'∧y∈W_λ'∧x>y⇒y∈W_λを示せばよいことになります。
-
>>954
書き間違い了解。
問題文→補題の仮定に訂正了解。
＞でもこの補題自体は、集合族が単射でなくたってなりたつんじゃない？
問題文・・・じゃなかった、、補題1の仮定で
「二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になっている。」
を取り去っても補題1の五つの主張の成立が示せるってことですか？
A=N、Λ={1,2}、W_λ1={1,2,3}、W_λ2={6,7}としたときW=∪W_λ={1,2,3,6,7}で、
2と6をともに含むW_λは存在しません。よって補題1の(1)は成立しません。
すると関係≦が定義できなくなり補題1の主張は崩壊すると思うのですが。
>>955,956前半
実は同じ現象で先生に困惑を与えているみたいです。いままで、
「命題p⇒qを示す」と書いたとき、俺はpが「既に仮定されたもの」という認識でいました。
「前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは常に真だから命題は成立。」というのは、
【「前2つの場合」を前提とすると、つまり「前2つの場合」の条件のもとでは、
y∈W_λ'⇒y∈W_λという命題が常に正しい】
ということが言いたかったのです。
つまり前件も後件もその命題が真であることを前提として述べたものでした。
確かにこのやりかたは独り善がりでわかりづらいところがあると思いました。
先生の仰るとおり、不自然さを解消する努力をしていきたいと思います。
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>>956後半
はい。>>912を使いました。また引用付け忘れてました。
＞なんだかきつい物言いになってしまって、気を悪くなさらないで下さい。
理解しにくい文章を書いたのなら仕方ありません。自分では当たり前に思っていることでも
他のひとにはそうは感じられないということが痛いほどわかりました。人にわかりやすく伝え
るのは本当に難しいです。
数学におけるそういう技能を少しでも磨けていけたら素晴らしいなぁと思います。
そのための輪読会ですもんね。盛り上げていきたいです
＞これからもよろしく。。
こちらこそです。拙い文章読んでいただきありが㌧です。
さらなる文句歓迎！
・・・ですが一応次項のことも・・・どなたが担当されますか？
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久しぶりっす。
次Zornの補台？そろそろ復帰しまつ
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>>960
おひさしぶりっす！
えっと、俺は本スレの閑居人で、今度は輪読会に参加させてもらってます。
再びよろしく〜
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昔の話で悪いが一応レスしとく。（スルーして構わんので）
>>884
＞supMが存在するなら一意であるってのはなんで？
sup＝最小上界だからminの一意性よりsupも一意
＞(a),(b),(c)それぞれ例を挙げてください。理由も書いてください。
A＝Rとする
(a) M＝{0}, maxM＝supM＝0
自明
(b) M＝(0,1), maxMなし, supM＝1
Mの上界として1がある。
1未満の数cはMの上界にはならない。
仮にcがMの上界であったとすると、Rの稠密性よりc<c'<1なる数c'が存在して上界の定義に矛盾する。
よってsupM＝Mの最小上界＝1。
またmaxMは存在しない。これもRの稠密性による。証明は同様なので略
(c) M＝R, maxMなし, supMなし
周知の事実
>>885
＞"逆の場合"と"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"の例を挙げてください。
"逆の場合"
M＝(-∞, √2)∩Q, A_1＝M∪{3}, A＝Q
このときsup_{A_1}M＝3だがsup_{A}Mは存在しない。
"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"
M＝(-∞, √2)∩Q, A_1＝M∪{3}, A＝M∪{2.5, 3}
このときsup_{A_1}M＝3≠2.5＝sup_{A}M。
ちなみに上の2つの場合において、勿論sup_{R}M＝√2である。
＞相対概念の件
納得しますた。
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>>961
よろしく。漏れ説明が雑なとこ多いけど大目に見てください。
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>>957
＞「仮定より〜」と直後に書くのでなく「〜というのが仮定だから」と直前に書けってことですか？
＞直前でも直後でもそそれほど変わらないと思いますが、そんなにわかりにくいですか？
「仮定より○×」は仮定(のうちのいくつか)より○×が導かれるの意、
「●△なる仮定より」は●△仮定(のうちのどれか)そのものの意、
意味が違います。直前、直後という言葉をおく順序がわかりにくさに影響しているわけでは
ありません。
＞＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λとなる理由を・・・
えと、この理由を書いて欲しいのは、理由なしだと、あなた自身がわかりにくいからですか？
「∀λ'∈Λ-{λ},W_λ'⊂W_λだから(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')⊂W_λで,
(★)一般にA,B,Cを集合としてA⊂BがなりたつならA∪C⊂B∪Cがなりたつ
からです.
(★)の証明.
は,x∈A∪Cならばx∈A∨x∈C,x∈AならA⊂Bよりx∈B,B⊂B∪C(>>50の(2.2))より
x∈B∪C,x∈CならC⊂C∪BでC∪B=B∪C((>>52の(2.5))よりx∈B∪C.いずれにせよ
x∈A∪Cならx∈B∪C.■」
-
>>957(続き)
ある本がセルフコンテインドとは、その本の内容を読むだけで、他の本を参照したりせずとも
了解可能であるということです。もちろん中学生にとってのセルフコンテインドと
大学1年生にとってのセルフコンテインドは違います。
＞xとyとλは与えられたもので、任意固定です。目標は上に書いたとおり
＞x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示すことです。ところがこのままでは、
＞yとx∈W_λとを関連付けて議論の出来る存在がなくて困っています。そこで、
＞xとyの両方を元として含むW_λ'⊂W=∪W_λ(このλは変数)を設定できるので、
＞そこで議論しているわけです。λ'はxとyを関連付けるために取っているのです。
＞結局x∈W_λ∩W_λ'∧y∈W_λ'∧x>y⇒y∈W_λを示せばよいことになります。
了解しました。やっと。
x∈W_λ∧y∈W∧x>yならば(x,y)∈W^2だから(1)により∃λ'∈Λ((x,y)∈(W_λ')^2)で,
さらにx>yならばy∈W_λ'<x>,>>950最下段よりy∈W_λってわけですね。
どうも、分かりが悪くて。。失礼。
-
>>958
＞問題文・・・じゃなかった、、補題1の仮定で
＞「二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になっている。」
＞を取り去っても補題1の五つの主張の成立が示せるってことですか？
そうではなく、集合族(W_λ|λ∈Λ)は単射でなくたっていいんじゃないかっていっただけです。
たとえば、A=N,Λ={1,2,3},W_1=W_2={1,2},W_3={1,2,3}順序はすべて通常の大小ってしたって,
補題1の(1)から(5)はすべておｋですよね。
ってこってす。そのときはW_λ=W_λ'とλ=λ'は同値じゃないですよね。
＞「命題p⇒qを示す」と書いたとき、俺はpが「既に仮定されたもの」という認識でいました。
えと、p⇒qを示すにはpが真であることを前提として、そのときqが真であることを示せばよい
と思って居たのですか？
えー、「√2が有理数ならば2√2も有理数である」は真ですよね。これは前提が偽だから
命題自体は真で、当たり前かもしれませんが(cf.講義と演習「代数系入門｣
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/153-157)
「e^πが有理数ならばe^π/3も有理数である」だって真です。(えーと、e^πがQの元か否かって未解決じゃ
なかったかな).
前提pの真偽に関わらず、命題「p⇒q」が真になるような推論はあり得ます。
-
>>959
えー、次のＢ）Ｃ）Ｄ）はこのスレッドの山場中の山場ですねー。
担当した人は、確実にいろんな観点で有意義でありましょう。
これは、私のような(たとえ二十年前の、であろうと)既習者は遠慮すべきだと思われます。
マジメな話。われと思わん方は是非担当を立候補してください。
>>960
ｵﾋｻｼﾌﾞﾘ!!
というわけで、もしこのあたりの話、未修であるなら、
ＢかＣかＤのいずれかを担当してみませんか？
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>>961
＞sup＝最小上界だからminの一意性よりsupも一意
了解。
＞(a)、自明。
まあそうですけど、「順序関係の公理のひとつ、反射律よりわかる」くらいは書いてほしかった。
＞(b)、
おｋ.1以上のAの元はみなMの上界、ってのをつかったわけね。
＞(c)、周知の事実
∃x∈A∀y∈M(y≦x)であるとするとx+1≦x,Rが和+について群であることから1≦0
これは≦が通常の大小順序であることに反する。
…なんかこんなんでいーんかなーって説明だなー。
A=Q, M=[0, 1)でよかったんじゃない？
＞"逆の場合"
おｋ
＞"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"
おｋ
今後とも宜しく。
-
>>964
＞意味が違います。
そうだったんですか。同じだと受け取っていました。
これからは「〜という仮定より○○だから」という表現を使うか、もしくはいきなり
「○○だから」と書くことにします。
＞理由なしだと、あなた自身がわかりにくいからですか？
「(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ」となる理由を言う必要がないのなら、
「W_λが他のW_λ'を全て含むならば、W_λ=W」となる理由を言う必要もないと
感じた、ということです。ここら辺は人によって感じ方のずれがあるので、>>957でも
言った通り、まずは自分の思うように書いて人から指摘されたらその都度深くつっこんで
みることにします。
★の証明は納得です。
>>965
＞セルフコンテインド
なるほど。そういう言葉があったんですね
＞x∈W_λ∧y∈W∧x>yならば(x,y)∈W^2だから(1)により∃λ'∈Λ((x,y)∈(W_λ')^2)
もっとこうやってびしっと書くべきでした。
-
>>966
＞集合族(W_λ|λ∈Λ)は単射でなくたっていいんじゃないかっていっただけです
＞そのときはW_λ=W_λ'とλ=λ'は同値じゃないですよね。
そういうことでしたか。了解
＞p⇒qを示すにはpが真であることを前提として、そのときqが真であることを示せばよい
＞と思って居たのですか？
基本的にそうです。
(p⇒q)⇔¬p∨qは知っていましたが、¬pの場合は考える意味があまりないことも多いです。
たとえば集合AがBの部分集合であることを証明するためにはx∈A⇒x∈Bを示しますが、
「じゃあxがAの元でないときはどうするんだ」と言われても、それを考えることには、
A⊂Bの証明を目標とする立場からは意味はないと思います。
だからx∈Aの場合だけ考え、これは結局x∈Aを前提するのと同じことだと思います。
俺はこういう思考を無意識の内に行っているので、>>942(5)でもその癖が出たみたいです。
しかし、
＞「e^πが有理数ならばe^π/3も有理数である」だって真です
こういう場合には¬pを考えることにも意味が出てくるので思考の仕方が変わります。
-
えー。臺地くん。とりあえず、B）担当してみますか？
あなたがBを書いてる間に、C）D）の立候補者をまつということで。
-
では漏れはＣをやることにしよう
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>>971
別に俺は構わないんですが、3連発はちょっとまずくないですか？
一応準備しておきます。
-
第3章 順序集合,Zornの補題
§3 Zornの補題,整列定理
p108 B)Zornの補題
選出公理を用いていよいよツォルンの補題を証明します。
わくわくしながらその主張を見てみると・・
【定理5(Zornの補題)】
帰納的な順序集合は少なくとも一つ極大元を持つ。
ホントにこれが選出公理と同等なのかと驚きますが・・・とりあえず帰納的って何？
【定義】-帰納的
順序集合Aは、その任意の空でない全順序部分集合がAの中に上限を有するとき、
帰納的(inductive)であると言う。
これで定理の主張を理解できるはずなんですが、あまりイメージがわきませんでした。
ので具体例を・・
たとえばAを実数の開区間(0,1)、順序は普通の大小関係とするとこれは帰納的ですね。
極大元は1でたしかに存在します。
また、A={{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,2,3},{1,2,4}}、順序は包含関係とすると、その全順序部分集合を
考えたとき、かならずAの中に上限を持ちます。よってAは帰納的です。
極大元は{1,2,3},{1,2,4}の二つが存在します。
【注意】
上に述べた帰納的順序集合の定義は通常とは異なっています。定理6の後の注意にも記し
ます。本書で上の定義を採用したのは、次の定理の証明で、今までに述べてきた整列集合
に関する命題を利用したいからです。実はZornの補題の証明を整列集合に関する命題と無
関係に与えることも可能らしいのですが、本書で与える証明のほうが思考内容の点でいくぶ
ん直接的また直観的だろうとのことです。
-
定理5の証明に入ります。この定理は次の二つの補題2,3から導かれます。これらの補題
のうち、補題2で整列集合に関する命題(たとえば前に述べたとおり補題1>>943)が用いられ
ます。また補題3では選出公理が利用されます。この二つの補題が示せれば、
対偶を取って定理5が示せるのがわかります。
【補題2】
(A,≦)を帰納的な順序集合とする。φ：A→Aは∀x∈A；φ(x)≧xを満たす。
このとき、∃a∈A；φ(a)=a
【補題3】
Aを極大元を持たない順序集合とすれば、∃φ∈A^A(∀x∈A；φ(x)>x)
イメージとしてはxy座標平面でグラフを考えてもらえればよいでしょう。
証明が厄介なのは補題2です。はじめから意味不明な設定が出現します。とりあえず指針。
Aの一つの元x_0を任意固定する。W∈2^Aで、次の(i)〜(iv)を満たすものを考える。
(i)Wは整列集合
(ii)Wの最小値はx_0
(iii)x∈Wが直前の元x_*をもつならx=φ(x_*)
(iv)x(≠x_0)∈Wが直前の元を持たなければsup_AW<x>=x
以上の四条件を満たすAの部分集合の全体をΨ(ホントはドイツ文字W)とすると
Ψが>>943の系の仮定を満たすことを示す(超限帰納法登場！)。
∪Ψ=W_0∈Ψ(⇔W_0が上の四条件を満たす)を示す。
W_0はWにおける最大元。Aが帰納的だからa=supW_0が存在。W_0∪{a}∈Wを示して､
W_0の最大性よりa∈W_0∴a=maxW_0。同様にしてW_0∪{φ(a)}∈Wを示して、
最大性よりW_0∋φ(a)≧a=maxW_0∴φ(a)=a
補題3は選出公理を使うもののそれほど難儀ではありません。方針略。
-
>>975【補題2の証明】くどいですが仮定はもう一回書きます
Aの一つの元x_0を任意に固定しておき、Aの部分集合Wで次の四条件を満たすものを
考える：
(i)WはAの部分順序集合として、整列集合である
(ii)minW=x_0
(iii)x∈WがWの中に直前の元x_*をもつならば、x=φ(x_*)
(iv)x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たなければ、W<x>={y∈W｜y<x}の
Aにおける上限がxと一致する。つまりx=sup(_A)W<x>
(i)〜(iv)を満たすAの部分集合の全体をΨ(本当はドイツ文字Wなんですが・・・)とおく。
Ψは空ではない。なぜなら、たとえば{x_0}は(i)〜(iv)を全て((iii)(iv)は仮定が偽だからという
意味で、"trivial"に)満たすからである。
次に、Ψの二元W,W'に対して、W=W'またはいずれか一方がその切片となることを示す。
W,W'は整列集合なので、定理4(比較定理)>>929により
(1)WはW'のある切片W'<b'>と順序同型
(2)W'はWのある切片W<b>と順序同型
(3)WはW'と順序同型
のどれか一つだけが必ず成立。(1)を示せば、(2)と(3)も同様だから(1)の場合のみ示す。
WからW'<b'>への順序同型写像が存在するから、それをfとする。このとき、f(x)=x、つまり
W=W'<b'>となることを超限帰納法によって示す。
(I)x=minW=x_0のとき
x_0はW'、したがってW'<b'>の最小元でもある。fが順序同型写像であることから、
f(x_0)=minW'<b'>。∴f(x_0)=x_0だから成立。
(II)x>x_0のとき
∀y∈W<x>；f(y)=yを仮定する。
xがWの中に直前の元を持つか、持たないかの一方のみが必ず成立。
xが直前の元x_*を持つ場合、fが順序同型写像である(f(m)≧f(n)⇔m≧n)ことから、
f(x_*)はW'<b'>の中で、従ってまたW'の中で、f(x)の直前の元となる。ここで仮定により
f(x_*)=x_*であるから、条件(iii)によりf(x)=φ(f(x_*))=φ(x_*)=xである。
xが直前の元を持たない場合、fが順序同型写像であることから、f(x)もW'<b'>の中に、
従ってまたW'の中に直前の下を持たない。
ここで、f(W<x>)=(W'<b'>)<f(x)>(>>917より)=W'<f(x)>(>>912より)なので
∀y∈W<x>；f(y)=yよりf(W<x>)=W<x>∴W<x>=W'<f(x)>
よって条件(iv)によりf(x)=sup(_A)W'<f(x)>=sup(_A)W<x>=x。
以上によりΨに属する任意の2つの集合は一致するか、一方が他方の切片となることが
示された。次に続く。
-
したがって、∪Ψ=W_0とおけば、補題1の系>>943によりW_0も整列集合となる。しかも、
同じ系によりΨの任意の元はW_0と一致するかまたはその切片となる。このことを用いて
W_0も条件(i)〜(iv)を満たすことを示す。
(i)：W_0が整列集合であることはすでに述べた。
(ii)：ΨがAの整列部分集合族(W_λ)_λ∈Λであるとする。
∀λ∈Λ；minW_λ=x_0であるから、min(∪_[λ∈Λ]W_λ)=x_0∴minW_0=x_0
(iii)：xがW_0の中に直前の元x_*をもつとする。∃λ∈Λ；(x,x_*)∈W_λ^2(>>940の(1))
なので、このW_λのなかでx=φ(x_*)となることからWの中でもx=φ(x_*)。
(iv)：x(≠x_0)∈W_0が直前の元を持たないとする。
x∈W_λなるλに対して、x=sup(_A)W_λ<x>。
W_λはW_0と一致するかまたはその切片ゆえ、W_λ<x>=W_0<x>∴x=sup(_A)W_0<x>。
以上よりW_0∈Ψであることがわかった。W_0は包含関係⊂の意味でΨの最大元である。
ここで、Aが帰納的であり、W_0はその全順序部分集合であるから、
上限sup(_A)W_0=aが存在する。
a∈W_0を示す。まず、W_0∪{a}もまた条件(i)〜(iv)を満たす。実際、∀x∈W_0；x≦aだから
W_0∪{a}の任意の空でない部分集合は最小元を持つ。よってW_0∪{a}は整列集合で、
(W_0∪{a})<a>=W_0であることからΨの任意の元はW_0∪{a}と一致するかまたはその切片。
よって上と同様にしてW_0∪{a}∈Ψ。
¬(a∈W_0)とするとW_0はΨの元W_0∪{a}の真部分集合となるが、これはW_0がΨの最大元
であることに反する。∴a∈W_0。∴a=maxW_0。
このaに対してφ(a)=aとなることを示す。まず、W_0∪{φ(a)}∈Ψとなることが上のW_0∪{a}の
ときと同様にしてわかる。ここでもしφ(a)≠aと仮定すると、φ(a)>aでなければならない。
するとW_0はΨの元W_0∪{φ(a)}の真部分集合となるが、
これはW_0がΨの最大元であることに反する。∴φ(a)=a。
以上より補題2が完全に証明された。□
-
>>975【補題3の証明】
Aの全ての空でない部分集合全体からなる集合系をΜ(本当はドイツ文字Mなんですが・・・)
とする。選出公理により、∃Φ∈A^Μ(∀M∈Μ；Φ(M)∈M)。
今、Aは極大元を持たないと仮定する。
各x∈Aに対しM_x={y∈A｜y>x}とおくと、∀x∈A；M_x≠φ⇔∀x∈A；M_x∈Μ。
よってΦ(M_x)∈M_xを満たすΜからAへの写像Φが存在する。
そこでAの任意の元xに対してφ∈A^Aをφ(x)=Φ(M_x)で定義すれば、
φ(x)∈M_x⇔φ(x)>xが任意のx∈Aに対して成立することになる。
よって示された。□
>>974【定理5の証明】
対偶：「順序集合(A,≦)が極大元を持たなければ、Aは帰納的でない」 を示せばよい。
Aが極大元を持たないとすると、補題3により∃φ∈A^A(∀x∈A；φ(x)>x)・・・①
ここでもしAが帰納的であると仮定すると、補題2により、
∀φ∈A^A{(∀x∈A；φ(x)≧x)⇒∃x∈A；φ(x)=x)}
⇔∀φ∈A^A{(∃x∈A；φ(x)<x)∨∃x∈A；φ(x)=x)}(∵p⇒q⇔¬p∨q)
⇔∀φ∈A^A(∃x∈A；φ(x)≦x)・・・②
①②は矛盾するので、Aは帰納的でない。よって示された□
-
てなわけで結局俺が三項連続で担当してしまいました・・・
同一人物の文章が続くのはきついかもしれませんが、突っ込みよろしくお願いします。。
Cが裏動画氏、Dがラメン氏でOK？
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もうついていけねぇよヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!
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