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「集合・位相入門」輪読会

827：Святослав(☆8) </b><font color=#FF0000>（DTxrDxh6）</font><b>：2004/10/31(日) 16:19: (3.11)m≦m',n≦n'⇒m^n≦m'^n'

証明:cardA=m,cardA'=m',cardB=n,cardB'=n'なる集合A,A',B,B'をとる.
m≦m',n≦n'より全射u∈A^A'と単射v∈B'^Bが存在する.
(B'^A')^(B^A)の元ΦをΦ(f)=vfuと定義すると
Φ(f)=Φ(g)⇔vfu=vgu.このとき>>569よりv'v=I_B,uu'=I_Aなるv'∈B^B',u'∈A'^Aが存在する.
よってf=g,即ちΦは単射.■

次の定理は,濃度の冪についていわゆる指数法則が成り立つというものです.

定理１０　0でない任意の濃度m,n,pに対して
(3.12)p^mp^n=p^(m+n)
(3.13)(mn)^p=m^pn^p
(3.14)(p^m)^n=p^(mn)

証明:集合A,B,CをcardA=m,cardB=n,cardC=p,A∩B=Φを満たす集合とする.
(3.12):Φ_1∈((C^A×C^B)^(C^(A∪B))をΦ_1(f)=(f|A,f|B)と定義すると
任意のC^A×C^Bの元(g,h)に対してk∈C^(A∪B)をk(x)=f(x) if x∈A,k(x)=g(x) if x∈B
で定義するとΦ_1(k)=(g,h).よってΦは全射.
Φ_1(u)=Φ_1(v)⇔(u|A,u|B)=(v|A,v|B)⇔u=vよりΦ_1は単射.

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