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「集合・位相入門」輪読会
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超限帰納法の原理を説明しましょう.
次が成り立ちます.
W'を整列集合Wの部分集合とします.このとき
W<a>⊂W'⇒a∈W'が成り立つならW'=Wが成り立つ…☆
証明 Wが整列集合であるのでW-W'≠Φならmin(W-W')が存在する.
W-W'=V,a=minVとおくとW<a>∩V=Φ,即ちW<a>⊂V^c=W'.
☆の仮定によりa∈W'.矛盾.
☆は言い換えると次の定理２が正しいことの保障になっています.
定理２ 整列集合Wの各元aに対してひとつの命題P(a)が対応しているとする.
このとき次の★が成り立てば,Wのすべての元aに対してP(a)は真である.
★…aがWの任意の元とするとき,x<aであるWの元xについてP(x)が真であるなら,P(a)も真.
定理２の証明 W'={x|x∈W,P(x)が真}とおく.このとき★が成り立つとすると,
「x<aであるWの元xについてP(x)が真であるなら,P(a)も真｣を仮定したことになるが,
このことは言い換えれば「W<a>⊂W'⇒a∈W'が成り立つ｣である.
☆によりこのときW'=Wであるがこのことは,すべてのWの元aに対してP(a)が真であることを
表している.■
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