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「集合・位相入門」輪読会
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>>940の続き
証明
(1)
x,y∈Wとすれば、W=∪_[λ∈Λ]W_λであるから、
∃(λ,λ')∈W_λ×W_λ'；x∈W_λかつy∈W_λ'
ここで、仮定によりW_λ'⊂W_λまたはW_λ⊂W_λ'
W_λ'⊂W_λのとき、yもW_λの元となるから命題は成立。W_λ⊂W_λ'のときも同様。
(2)
x,y∈Wとし、(x,y)∈W_λ^2かつ(x,y)∈W_λ'^2を仮定する。(λ≠λ')
条件より(W_λ,≦_λ)、(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片、従って部分順序集合
であるから、x(≦_λ)y⇔x(≦_λ')y；y(≦_λ)x⇔y(≦_λ')x
よって、x≦yとy≦xの定義は(*)を満足するλのとり方によらない。
(3)
(1)と同様にして∀(x,y,z)∈W^3(∃λ∈Λ；(x,y,z)∈W_λ^3)。これより≦がWにおける
順序関係であることを示す。定義によりW_λの上で≦_λと≦とは一致。
x≦x⇔x(≦_λ)xは真なので反射律が成立。
x≦y∧y≦x⇔x(≦_λ)y∧y(≦_λ)x⇔x=yは真なので反対称律が成立。
x≦y∧y≦z⇔x(≦_λ)y∧y(≦_λ)z⇒x(≦_λ)z⇔x≦zは真なので推移律が成立。
以上より示された。
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