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「集合・位相入門」輪読会
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>>975【補題3の証明】
Aの全ての空でない部分集合全体からなる集合系をΜ(本当はドイツ文字Mなんですが・・・)
とする。選出公理により、∃Φ∈A^Μ(∀M∈Μ；Φ(M)∈M)。
今、Aは極大元を持たないと仮定する。
各x∈Aに対しM_x={y∈A｜y>x}とおくと、∀x∈A；M_x≠φ⇔∀x∈A；M_x∈Μ。
よってΦ(M_x)∈M_xを満たすΜからAへの写像Φが存在する。
そこでAの任意の元xに対してφ∈A^Aをφ(x)=Φ(M_x)で定義すれば、
φ(x)∈M_x⇔φ(x)>xが任意のx∈Aに対して成立することになる。
よって示された。□
>>974【定理5の証明】
対偶：「順序集合(A,≦)が極大元を持たなければ、Aは帰納的でない」 を示せばよい。
Aが極大元を持たないとすると、補題3により∃φ∈A^A(∀x∈A；φ(x)>x)・・・①
ここでもしAが帰納的であると仮定すると、補題2により、
∀φ∈A^A{(∀x∈A；φ(x)≧x)⇒∃x∈A；φ(x)=x)}
⇔∀φ∈A^A{(∃x∈A；φ(x)<x)∨∃x∈A；φ(x)=x)}(∵p⇒q⇔¬p∨q)
⇔∀φ∈A^A(∃x∈A；φ(x)≦x)・・・②
①②は矛盾するので、Aは帰納的でない。よって示された□
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