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「集合・位相入門」輪読会
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次にＭをＡの1つの空でない部分集合とする。
a∈Aについて∀x∈M, x≦aが成り立つとき、aをMのAにおける上界という。
aがMの上界ならばそれ以上のAの元はすべてMの上界である
Ｍの上界が少なくとも１つ存在するとき、ＭはＡにおいて上に有界であると言う。
下界、下に有界も同様に定義される。
Ｍが上にも下にも有界であるときＭは単に有界であるという。
ＭのＡにおける上界全部の集合、下界全部の集合をそれぞれM^*、M_*で表す。
定義より、Mが上に有界⇔M^*≠φ、Ｍが下に有界⇔Ｍ_*≠φ.
Mが上に有界でminM^*が存在するとき、それをMのAにおける最小上界または上限といい、supMで表す。
Mが上に有界であっても必ずしもsupMが存在するとは限らない。(後述）
supＭが存在する場合、Ｍによって一意的に定まる。定義から明らかに
a＝supM ⇔ (i) a∈M^*、(ii) a=minM^* ⇔ (i) ∀x∈M, x≦a、(ii) ∀x∈M, x≦a' ⇒ a≦a'.
上に有界であるようなAの空でない部分集合Mについて、次の３つの場合が考えられる。
(a) maxMが存在する。このときsupMも存在してmaxM＝supM
(b) maxMは存在しないがsupMは存在する。このときsupM∈M^c
（この書き方は若干苦しいがweb上なので止むを得ない。要はsupMはMの元ではないということ）
(c) supMが存在しない。このときmaxＭも存在しない。
上と同様にＭが下に有界でmaxM_*が存在するときそれをＭのＡにおける最大下界または下限といい、infMで表す。
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