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「集合・位相入門」輪読会
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>>975【補題2の証明】くどいですが仮定はもう一回書きます
Aの一つの元x_0を任意に固定しておき、Aの部分集合Wで次の四条件を満たすものを
考える：
(i)WはAの部分順序集合として、整列集合である
(ii)minW=x_0
(iii)x∈WがWの中に直前の元x_*をもつならば、x=φ(x_*)
(iv)x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たなければ、W<x>={y∈W｜y<x}の
Aにおける上限がxと一致する。つまりx=sup(_A)W<x>
(i)〜(iv)を満たすAの部分集合の全体をΨ(本当はドイツ文字Wなんですが・・・)とおく。
Ψは空ではない。なぜなら、たとえば{x_0}は(i)〜(iv)を全て((iii)(iv)は仮定が偽だからという
意味で、"trivial"に)満たすからである。
次に、Ψの二元W,W'に対して、W=W'またはいずれか一方がその切片となることを示す。
W,W'は整列集合なので、定理4(比較定理)>>929により
(1)WはW'のある切片W'<b'>と順序同型
(2)W'はWのある切片W<b>と順序同型
(3)WはW'と順序同型
のどれか一つだけが必ず成立。(1)を示せば、(2)と(3)も同様だから(1)の場合のみ示す。
WからW'<b'>への順序同型写像が存在するから、それをfとする。このとき、f(x)=x、つまり
W=W'<b'>となることを超限帰納法によって示す。
(I)x=minW=x_0のとき
x_0はW'、したがってW'<b'>の最小元でもある。fが順序同型写像であることから、
f(x_0)=minW'<b'>。∴f(x_0)=x_0だから成立。
(II)x>x_0のとき
∀y∈W<x>；f(y)=yを仮定する。
xがWの中に直前の元を持つか、持たないかの一方のみが必ず成立。
xが直前の元x_*を持つ場合、fが順序同型写像である(f(m)≧f(n)⇔m≧n)ことから、
f(x_*)はW'<b'>の中で、従ってまたW'の中で、f(x)の直前の元となる。ここで仮定により
f(x_*)=x_*であるから、条件(iii)によりf(x)=φ(f(x_*))=φ(x_*)=xである。
xが直前の元を持たない場合、fが順序同型写像であることから、f(x)もW'<b'>の中に、
従ってまたW'の中に直前の下を持たない。
ここで、f(W<x>)=(W'<b'>)<f(x)>(>>917より)=W'<f(x)>(>>912より)なので
∀y∈W<x>；f(y)=yよりf(W<x>)=W<x>∴W<x>=W'<f(x)>
よって条件(iv)によりf(x)=sup(_A)W'<f(x)>=sup(_A)W<x>=x。
以上によりΨに属する任意の2つの集合は一致するか、一方が他方の切片となることが
示された。次に続く。
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