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「集合・位相入門」輪読会
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補題４ 整列集合W,W'が順序同型ならば、Wの任意の切片W<a>に対して、
それと順序同型になるようなW'の切片W'<a'>が存在する。かつ、このとき
a'はaに対して一意的に定まる。
証明 fをWからW'への順序同型写像とすれば、明らかに、
f(W<a>)=W'<f(a)>･･･(*)
となるから、fの定義域をW<a>に縮小し、かつ終集合をW'<f(a)>に変えれば、
W<a>からW'<f(a)>への順序同型写像が得られる。よって、f(a)=a'とおけば、
W<a>〜W'<a'>となる。また、W<a>〜W'<a'>となるようなa'が(aに対して)
一意的に定まることは、補題３(および(1.9)(1.10))から明らかである･･･(#)。
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