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「集合・位相入門」輪読会
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やり直し・・・演習スレの5を使います。
もしAが全順序集合であるならば、bがaの直後の元であることは、bがaよりも
大きいAの元の集合X={x|x∈A,a<x}の最小元であることと同等である。
bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在しない⇒
b∈X,(任意のx∈Xに対してb≦x)
()を背理法で示す。Aは全順序集合だからその部分集合であるXも全順序集合
だから∀x∈X(b≦x)でないと仮定すれば∃x∈X(b>x)であるが、これは∃x∈X(a<x<b)
となり矛盾。
また、bがXの最小元⇔b∈X,∀x∈X(b≦X)⇒bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<b
となるようなAの元yが存在しない
これを背理法で示す。a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在するならば
y∈X。bがXの最小元であることにより、b<y。よって¬(y<b)これは(a<)y<bに矛盾。
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