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「集合・位相入門」輪読会
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（Ａ、≦）⋍ฺ（Ａ’，≦’）であるときＡからＡ’への順序同型写像の1つをｆとすれば
順序に関する諸関係で（Ａ，≦）の上で成り立つことはｆによってそのまま（Ａ’，≦’）に写され
逆に（Ａ’，≦’）の上で成り立つことはf^-1によってそのまま（Ａ，≦）にうつされる
したがって順序同型な（Ａ，≦）、（Ａ’，≦’）は順序集合として全く同じ構造を持つ。
Ａ⋍ฺＡ’⇒Ａ〜Ａ’だがその逆は真ではない。
たとえばＮ，Ｚ，Ｑは互いに対等であるが順序同型ではない。
証明 Ｎ⋍ฺＺだと仮定するとminN=1よりminZが存在することになり矛盾。
ゆえにN⋍ฺZは成り立たない
同様にN⋍ฺQも成り立たない。
Z⋍ฺQだと仮定し、その順序同型写像fとz∈Zについてf(z)=p∈Q, f(z+1)=q∈Qとすれば
r=(p+q)/2∈Qについてz＜f^(-1)(r)(∈Z)＜z+1となり矛盾
ゆえにZ⋍ฺQも成り立たない。
またfが（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射であるとき
その終集合をｆ（Ａ）＝A_1'に変えた写像は明らかに（Ａ，≦）から（Ａ_１’，≦’）への順序同型写像。
逆にf'が（Ａ，≦）から（Ａ_1’，≦’）への順序同型写像ならばその州集合をＡ’に変えた写像は
（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射。
すなわち（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射が存在する⇔（Ａ，≦）が（Ａ’，≦’）のある部分順序集合と順序同型。
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