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「集合・位相入門」輪読会
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したがって、∪Ψ=W_0とおけば、補題1の系>>943によりW_0も整列集合となる。しかも、
同じ系によりΨの任意の元はW_0と一致するかまたはその切片となる。このことを用いて
W_0も条件(i)〜(iv)を満たすことを示す。
(i)：W_0が整列集合であることはすでに述べた。
(ii)：ΨがAの整列部分集合族(W_λ)_λ∈Λであるとする。
∀λ∈Λ；minW_λ=x_0であるから、min(∪_[λ∈Λ]W_λ)=x_0∴minW_0=x_0
(iii)：xがW_0の中に直前の元x_*をもつとする。∃λ∈Λ；(x,x_*)∈W_λ^2(>>940の(1))
なので、このW_λのなかでx=φ(x_*)となることからWの中でもx=φ(x_*)。
(iv)：x(≠x_0)∈W_0が直前の元を持たないとする。
x∈W_λなるλに対して、x=sup(_A)W_λ<x>。
W_λはW_0と一致するかまたはその切片ゆえ、W_λ<x>=W_0<x>∴x=sup(_A)W_0<x>。
以上よりW_0∈Ψであることがわかった。W_0は包含関係⊂の意味でΨの最大元である。
ここで、Aが帰納的であり、W_0はその全順序部分集合であるから、
上限sup(_A)W_0=aが存在する。
a∈W_0を示す。まず、W_0∪{a}もまた条件(i)〜(iv)を満たす。実際、∀x∈W_0；x≦aだから
W_0∪{a}の任意の空でない部分集合は最小元を持つ。よってW_0∪{a}は整列集合で、
(W_0∪{a})<a>=W_0であることからΨの任意の元はW_0∪{a}と一致するかまたはその切片。
よって上と同様にしてW_0∪{a}∈Ψ。
¬(a∈W_0)とするとW_0はΨの元W_0∪{a}の真部分集合となるが、これはW_0がΨの最大元
であることに反する。∴a∈W_0。∴a=maxW_0。
このaに対してφ(a)=aとなることを示す。まず、W_0∪{φ(a)}∈Ψとなることが上のW_0∪{a}の
ときと同様にしてわかる。ここでもしφ(a)≠aと仮定すると、φ(a)>aでなければならない。
するとW_0はΨの元W_0∪{φ(a)}の真部分集合となるが、
これはW_0がΨの最大元であることに反する。∴φ(a)=a。
以上より補題2が完全に証明された。□
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