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「集合・位相入門」輪読会
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(2.4) A∪A=A (巾等律)
(2.5) A∪B=B∪A (交換律)
(2.6) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (結合律)
これらは証明を要するものなのかどうかわからない・・・
証明するとすれば、論理学の範疇なので、真理値表とか・・・
(2.6)の両辺をカッコを省略してA∪B∪Cとも書く。さらに(2.6)から
{(A∪B)∪C}∪D=(A∪B)∪(C∪D)=A∪{B∪(C∪D)}=A∪{(B∪C)∪D}={A∪(B∪C)}∪D
が導かれる。この各辺の集合をA∪B∪C∪Dと書く。
1つ目の=は、(A∪B)をA'、CをB'、DをC'と置き換えてみればわかる。残りの=も同様。
一般に、n個の集合A_1,A_2,･･･,A_nがあるとき、A_1∪A_2∪･･･∪A_nという表現の
どこにどのような順序でカッコをつけていっても、結果として得られる集合は全部
同じになる。これは、上と同様に、例えば、A_1とA_2に()がついている場合全てについて
(A_1∪A_2)=B_1と置き換えれば(n-1)個の場合に帰着できる。A_2とA_3、A_3とA_4･･･
の場合も同様。また、k=1,2,･･･,(n-2)として、A_kとA_(k+1)にカッコが付いている場合の1つに、
C∪{(A_k∪A_(k+1))∪A_(k+2)}∪Dがある。A_(k+1)とA_(k+2)にカッコが付いている場合の1つに、
C∪{A_K∪(A_(k+1)∪A_(k+2))}∪Dがある。(CはA_1∪･･･∪A_(k-1)という表現に適当に(どうやっても良い)
カッコをつけた集合。DはA_(k+3)∪･･･∪A_nという表現に適当にカッコをつけた集合。）
よって、(A_k∪A_(k+1))∪A_(k+2)=A_K∪(A_(k+1)∪A_(k+2))より、どのようにカッコをつけても得られる集合
は同じであることを示すことができる。
これを、A_1∪A_2∪･･･∪A_nあるいは∪[i=1,n]A_iと書く。
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