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「集合・位相入門」輪読会
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(>>929に続く)
・「1),2),3)のいずれかの場合が必ず成立すること」
x∈W,x'∈W'に対し、条件
(*)W<x>〜W<x'>
という関係を満たす組を考える。
J={x∈W｜∃x'∈W'；W'<x'>〜W<x>}、J'={x'∈W'｜∃x∈W；W<x>〜W'<x'>}とおく。
補題3により、各x∈Jに対し(*)を満たすx'∈J'が一意的に定まり、逆に各x'∈J'に対し
(*)を満たすx∈Jも一意的に定まる。よって、Jの各元xにJ'の各元x'を対応させる写像fは、
J'からJへの全射でありJからJ'への全射、すなわちJからJ'への全単射である。
次に、以下の(a)(b)(a')(b')を示す。
(a)Wの部分集合Jは、補題1の条件(2.2)すなわち∀x,y∈W；x∈J∧x>y⇒y∈Jを満たす
(b)∀x,y∈J；x>y⇒x'>y'(ただしf(x)=x',f(y)=y')
(a')W'の部分集合J'は、補題1の条件(2.2)すなわち∀x',y'∈W'；x'∈J'∧x'>y'⇒y'∈J'を満たす
(b')∀x',y'∈J'；x'>y'⇒x>y(ただしf^(-1)(x')=x,f^(-1)(y')=y)
(a)(b)を示せば、同様の議論で(a')(b')も示される。
(a)
x∈J∧x>y⇔W<x>〜W'<f(x)>∧x>y⇔W<x>〜W'<x'>。W<y>はW<x>の切片となるから、補題4
より、∃y1'∈W'<x'>；(W<x'>)<y1'>〜W<y>⇔∃y1'∈W'<x'>；W'<y1'>〜W<y>。∴y∈J。
(b)
一意性によりy1'=f(y)=y'。y1'∈W<x'>⇔y1'>x'。∴x'>y'。
(b)と(b')よりfはx≧y⇔f(x)≧f(y)をみたすから、順序同型写像である。
(a)によりJはW全体となるかまたはWのある切片W<a>と等しい。
(a')によりJ'はW'全体となるかまたはW'のある切片W'<a>と等しい。
よって以下の4通りが考えられる。
(i)J=W∧J'=W'のとき：定理4の1)が成立。
(ii)J=W∧J'=W'<a'>のとき：定理4の2)が成立。
(iii)J=W<a>∧J'=W'のとき：定理4の3)が成立。
(iv)J=W<a>∧J'=W'<a'>のとき：J〜J'⇔W<a>=W'<a'>よりa∈JだがこれはJ=W<a>に反する。
以上により定理4は完全に証明された。□
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