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「集合・位相入門」輪読会
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定理5の証明に入ります。この定理は次の二つの補題2,3から導かれます。これらの補題
のうち、補題2で整列集合に関する命題(たとえば前に述べたとおり補題1>>943)が用いられ
ます。また補題3では選出公理が利用されます。この二つの補題が示せれば、
対偶を取って定理5が示せるのがわかります。
【補題2】
(A,≦)を帰納的な順序集合とする。φ：A→Aは∀x∈A；φ(x)≧xを満たす。
このとき、∃a∈A；φ(a)=a
【補題3】
Aを極大元を持たない順序集合とすれば、∃φ∈A^A(∀x∈A；φ(x)>x)
イメージとしてはxy座標平面でグラフを考えてもらえればよいでしょう。
証明が厄介なのは補題2です。はじめから意味不明な設定が出現します。とりあえず指針。
Aの一つの元x_0を任意固定する。W∈2^Aで、次の(i)〜(iv)を満たすものを考える。
(i)Wは整列集合
(ii)Wの最小値はx_0
(iii)x∈Wが直前の元x_*をもつならx=φ(x_*)
(iv)x(≠x_0)∈Wが直前の元を持たなければsup_AW<x>=x
以上の四条件を満たすAの部分集合の全体をΨ(ホントはドイツ文字W)とすると
Ψが>>943の系の仮定を満たすことを示す(超限帰納法登場！)。
∪Ψ=W_0∈Ψ(⇔W_0が上の四条件を満たす)を示す。
W_0はWにおける最大元。Aが帰納的だからa=supW_0が存在。W_0∪{a}∈Wを示して､
W_0の最大性よりa∈W_0∴a=maxW_0。同様にしてW_0∪{φ(a)}∈Wを示して、
最大性よりW_0∋φ(a)≧a=maxW_0∴φ(a)=a
補題3は選出公理を使うもののそれほど難儀ではありません。方針略。
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