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「集合・位相入門」輪読会
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昔の話で悪いが一応レスしとく。（スルーして構わんので）
>>884
＞supMが存在するなら一意であるってのはなんで？
sup＝最小上界だからminの一意性よりsupも一意
＞(a),(b),(c)それぞれ例を挙げてください。理由も書いてください。
A＝Rとする
(a) M＝{0}, maxM＝supM＝0
自明
(b) M＝(0,1), maxMなし, supM＝1
Mの上界として1がある。
1未満の数cはMの上界にはならない。
仮にcがMの上界であったとすると、Rの稠密性よりc<c'<1なる数c'が存在して上界の定義に矛盾する。
よってsupM＝Mの最小上界＝1。
またmaxMは存在しない。これもRの稠密性による。証明は同様なので略
(c) M＝R, maxMなし, supMなし
周知の事実
>>885
＞"逆の場合"と"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"の例を挙げてください。
"逆の場合"
M＝(-∞, √2)∩Q, A_1＝M∪{3}, A＝Q
このときsup_{A_1}M＝3だがsup_{A}Mは存在しない。
"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"
M＝(-∞, √2)∩Q, A_1＝M∪{3}, A＝M∪{2.5, 3}
このときsup_{A_1}M＝3≠2.5＝sup_{A}M。
ちなみに上の2つの場合において、勿論sup_{R}M＝√2である。
＞相対概念の件
納得しますた。
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