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「集合・位相入門」輪読会
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第3章 順序集合,Zornの補題
§3 Zornの補題，整列定理
p105 A)整列集合に関する一命題
ついに本章のメインテーマ・ツォルンの補題、整列定理に入ります。
これらの命題はあとで書くように実は選出公理と論理的に同等のものですが、数学の理論へ
の応用には、これらの命題の形の方が選出公理よりも効果的であることが多いのです。
本項ではこの命題を証明するための準備として、整列集合に関する一つの補題を示します。
これは本質的には簡単なものです。(Λと∧がまぎらわしい所は「かつ」と日本語を使用)
補題1
(W_λ)_λ∈Λは集合A(順序集合とは限らない)の部分集合族である。各W_λにはそれぞれ
順序≦_λが定められており、(W_λ,≦_λ)は整列集合を為しているとする。また、Λの異なる
二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になっている。
このとき、以下の(1)〜(5)が成立する：
(1)∀(x,y)∈W^2(∃λ∈Λ；x∈W_λかつy∈W_λ)
(2)(1)の場合、x(≦_λ)yであるか、y(≦_λ)xであるかに応じてx≦y,y≦xと定義すれば、
関係≦は x∈W_λかつy∈W_λ・・・(*) を満足するλに依存せず定まる
(3)W=∪_[λ∈Λ]W_λとおくと、≦はWにおける順序関係
(4)(W,≦)は整列集合
(5)任意のλ∈Λに対し、(W_λ,≦_λ)は(W,≦)と一致するかまたはその切片となる
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