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「集合・位相入門」輪読会
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例2 順序集合Ｑを全体集合とし、その部分集合Ｍ＝｛|x∈Ｑ，0<x、x^2<2｝を考える。もちろんＭ≠φで上に有界。
しかしMの中にsupMは存在しない。実際a=supMが存在したとするとa∈Qよりa^2≠2だから2<a^2 or a^2<2.
ここでa'=(3a+4)/(2a+3)とおけばa'も正の有理数で、2<a^2⇒2<a'^2<a^2, 2>a^2⇒2>a'^2>a^2でいずれにしても矛盾。
・・らしいのだがここが理解できない、。だれか代わりに解説してくれ
しかし今のMを順序集合Ｒの部分集合と考えた場合にはＭは上限を持ち、supM＝√2。
Rにおいては任意の空でない上に有界な部分集合が必ず上限を持つ。（実数の連続性）
例3 Ｍを任意の集合系とする。（φ≠）Ｎ⊂Ｍについて集合系Ｎの和集合∪Ｎ＝∪｛A|A∈N｝がＭの元であれば
それは順序集合ＭにおけるＮの上限となる。即ちsupＮ＝∪Ｎ．このことは第1章(2.17)(2.18)よりわかる。
（平たく言えば、Ｎに属するすべての集合を包む最も小さな集合が∪Ｎであるということ。）
上の例2でも見たように一般にが順序集合でＭ⊂Ａ_1⊂Aであるとき、MがA_1の中に上限をもたなくても
Aの中で持つことがある。その逆の場合もある。さらにMがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合もある。
こうした事態にまぎれがないように対処するために、必要があればsup_{A_1}M、sup_{A}Mと書いて区別する。infも同様。
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