レス数が1スレッドの最大レス数(1000件)を超えています。残念ながら投稿することができません。
「集合・位相入門」輪読会
-
>>941の続き
(4)
Mを任意の空でないW=∪W_λの部分集合とするとき、≦に関するMの最小値が存在すること
を示す。M≠φより、∃λ∈Λ；M∩W_λ=φ。このようなλについて、(W_λ,≦_λ)が整列集合
であることから≦_λに関するmin(M∩W_λ)=aが存在する。a=minMを示す。
xをMの任意の元とするとき、x∈W_λと¬(x∈W_λ)の一方のみが必ず成立。
x∈W_λならば、x∈M∩W_λよりもちろんa(≦_λ)x⇔a≦x。
¬(x∈W_λ)ならば、∃λ'∈Λ；λ'≠λかつx∈W_λ'。このようなλ'に対して、問題文より
(W_λ,≦_λ)と(W_λ',≦_λ')の一方は他方の切片であるが、¬(W_λ'⊂W_λ)なので
(W_λ,≦_λ)が(W_λ',≦_λ')のある切片W_λ'<b'>となる。
a∈W_λ∧x∈W_λ'-W_λ∴x(≧_λ')b'(>_λ')a(¬(x<b')⇔x≧b'を利用)∴x≧a
したがって、任意のx∈Mに対し、x≧aであるから、a=minM。
(5)λは任意固定
W_λが他のW_λ'を全て含むならば、W_λ=W。よって(W_λ,≦_λ)と(W,≦)は一致する。
そうではないときを考える。W_λ上で≦_λと≦は一致している、つまり(W_λ,≦_λ)は(W,≦)
の部分順序集合。前者が後者の切片であることを示す。補題1を利用する。
すなわち、x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示せばよい。
W_λ'∋x,yなるλ'をとると、整列集合の比較定理より、(W_λ',≦_λ')=(W_λ,≦_λ)
(⇔λ=λ')か、(W_λ',≦_λ')が(W_λ,≦_λ)の切片であるか、(W_λ,≦_λ)が
(W_λ',≦_λ')の切片になるか、のどれか一つだけが必ず成立する。
前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは恒真式だから命題は成立。
最後の場合は、x∈W_λ∧y∈W_λ'∧x(>_λ')yよりy∈W_λ'<x>よってy∈W_λが言え、
≦_λ'と≦が一致していることから命題は成立。よって示された。
以上より補題1が完全に証明された。□
掲示板管理者へ連絡
無料レンタル掲示板
