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「集合・位相入門」輪読会
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第3章 順序集合，Zornの補題
§2 整列集合とその比較定理
p103 D)整列集合の比較定理
前項の補題3、補題4、および前々項の補題1を用いて、整列集合に関する重要な次の
定理が証明できます。
定理4(比較定理)
W,W'を２つの整列集合とすれば、次の三つの場合のいずれか一つ、しかも一つだけが成立
1)W〜W'(〜は順序同型の意)
2)∃a'∈W'；W〜W'<a'>
3)∃a∈W；W<a>〜W'
なお、上の2),3)の場合にa,a'は一意的に定まる。
証明
簡単にわかるところから示していきましょう。
・「2),3)の場合にa,a'が一意的に定まること」
2)のとき、W'の二元a',b'に対しW〜W<a'>∧W〜W<b'>とすると、
交換律(1.9),推移律(1.10)>>874から、W<a'>〜W<b'>となるが、補題3よりa'=b'となる。
3)のときも同様。
・「1)2)3)のどの2つの場合も両立しないこと」
1)と2)が両立すると仮定すると、おなじく交換律と推移律からW'〜W'<a'>となるが、
補題3に矛盾する。1)と3)の場合も同様。
2)と3)が両立すると仮定する。W〜W'<a'>であるから、補題4よりW<a>はW'<a'>のある切片
(W'<a'>)<b'>と順序同型になる。しかるに(W'<a'>)<b'>=W'<b'>なので、
(∵x∈(W'<a'>)<b'>⇔x<a'∧x<b'∧b'<a'⇔x<b'<a'⇔x∈W'<b'>)
W<a>〜W'<b'>。3)より、W'<b'>〜W'。これは補題3に矛盾。
1)2)3)のいずれかが成立ことを示す、本格的な議論は次からですが、一読しただけでは
わけがわからなかったので具体例を作ってみました。
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