レス数が1スレッドの最大レス数(1000件)を超えています。残念ながら投稿することができません。
「集合・位相入門」輪読会
-
C) 最大（小）元、極大（小）元、上限、下限
(A, ≦)を1つの順序集合とし、以下略して単にAと書く。
∃a∈A, ∀x∈A, x≦aが成り立つときaをAの最大元といいmaxAで表す。
同様に∃b∈A, ∀x∈A, x≧bが成り立つときbをAの最小元といいminAで表す。
maxAやminAはいつも存在するとは限らないが存在するならばいずれも一意的に定まる。
（a,a'がともにAの最大元であるとすれば定義よりa'≦aかつa≦a'。ゆえにa=a'//）
またa∈Aについてa<xなるx∈Aが存在しないときAを極大元と言う。
同様にb∈Aについてb>xなるx∈Aが存在しないときAを極小元と言う。
Aの極大元、極小元も一般に存在するとは限らない。
もしmaxAが存在すれば、明らかにそれはAの唯一の極大元。
同様にminAが存在すれば、それはAの唯一の極小元。
maxAやminAが存在しなくてもAの極大元や極小元が存在することがある。
また極大元や極小元は複数存在することもある。
Aが全順序集合である場合にはAの最大元と極大元、最小元と極小元はそれぞれ一致する。
証明 全順序ならばすべての元が大小比較可能だから
aがAの極大元⇔a<xなるx∈Aが存在しない⇔∀x∈A, a≧x⇔a＝maxA。極小元についても同様
例1 A＝N＼{1}を台とし整除関係｜を順序とする順序集合（Ａ，｜）を考える。
この中に2以上のすべての整数を割り切る元はないから明らかにminAは存在しない
最大元や極小元も明らかに存在しない。極小元は無数に存在し、それらはすべての素数をわたる。
掲示板管理者へ連絡
無料レンタル掲示板
