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「集合・位相入門」輪読会
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第3章 順序集合,Zornの補題
§3 Zornの補題,整列定理
p108 B)Zornの補題
選出公理を用いていよいよツォルンの補題を証明します。
わくわくしながらその主張を見てみると・・
【定理5(Zornの補題)】
帰納的な順序集合は少なくとも一つ極大元を持つ。
ホントにこれが選出公理と同等なのかと驚きますが・・・とりあえず帰納的って何？
【定義】-帰納的
順序集合Aは、その任意の空でない全順序部分集合がAの中に上限を有するとき、
帰納的(inductive)であると言う。
これで定理の主張を理解できるはずなんですが、あまりイメージがわきませんでした。
ので具体例を・・
たとえばAを実数の開区間(0,1)、順序は普通の大小関係とするとこれは帰納的ですね。
極大元は1でたしかに存在します。
また、A={{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,2,3},{1,2,4}}、順序は包含関係とすると、その全順序部分集合を
考えたとき、かならずAの中に上限を持ちます。よってAは帰納的です。
極大元は{1,2,3},{1,2,4}の二つが存在します。
【注意】
上に述べた帰納的順序集合の定義は通常とは異なっています。定理6の後の注意にも記し
ます。本書で上の定義を採用したのは、次の定理の証明で、今までに述べてきた整列集合
に関する命題を利用したいからです。実はZornの補題の証明を整列集合に関する命題と無
関係に与えることも可能らしいのですが、本書で与える証明のほうが思考内容の点でいくぶ
ん直接的また直観的だろうとのことです。
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