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「集合・位相入門」輪読会
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a,bが整列集合Wの元であるとします.
このときa≦bであるとするとW<a>⊂W<b>が成り立ちます.
なぜなら,x∈W<a>であるとするとx<aであり,推移律によりx<bが成り立ち,したがって
W<a>⊂W<b>が成り立ちます.
逆にW<a>⊂W<b>であるとするとa≦bが成り立ちます.
なぜなら,W<a>⊂W<b>,a>bであるとすると,b∈W<a>,¬(a∈W<b>)という矛盾が起きます.
以上よりa≦b⇔W<a>⊂W<b>が成り立ちます.
したがって,順序集合(W,≦)から順序集合({W<a>}_[a∈W],⊂)への写像fを
f:W∋x|→W<a>∈{W<a>}_[a∈W]
と定めると,x≦y⇒f(x)⊂f(y)が成り立つので,fは順序写像,
f(x)⊂f(y)⇒x≦yも成り立つので,fは順序単射.さらに,
任意の{W<a>}_[a∈W]の元W<x>に対して,f(x)=W<x>なるWの元xがあるので,fは順序同型写像
となります.
またa<bであるなら(W<b>)<a>=W<a>となります.
実際,x∈(W<b>)<a>ならx<aだからx∈W<a>,即ち(W<b>)<a>⊂W<a>が,
x∈W<a>ならx<aだから推移律よりx<bだからx∈W<b>かつx<aが成り立つのでx∈(W<b>)<a>,
即ちW<a>⊂(W<b>)<a>が成り立ちます.
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