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「集合・位相入門」輪読会
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注意 上の整列集合の定義で、Wの順序が"全順序"であるという仮定は実は
不要である。(すなわち、それは後の条件から自然に導かれる。)実際、a,bを
Wの任意の2元とすれば、後の条件によってmin{a,b}が存在するが、min{a,b}=a
ならばa≦b,min{a,b}=bならばa≧b。いずれにしてもa,bは比較可能となる。ゆえに
Wの順序は全順序である。
われわれは次に、整列集合の性質を調べるのであるが、そのためにまず、1つの
概念を用意しておこう。
一般にAを任意の順序集合とし、a,bをAの2つの元とする。もしa<bで、a<x<b
となるようなAの元xが存在しないならば、Aの中でbはaの直後の元、aはbの直前の元
であるという。
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