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「集合・位相入門」輪読会
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切片を特徴付ける補題を紹介します.
補題１ Jを整列集合Wの部分集合とする.Jが条件
★★ x∈J,y∈W,y<x⇒y∈J
をみたしているならばJはWと一致するか何らかのWの元の切片と一致する.
証明 ★★をみたすJがJ≠WであるとするとW-J≠Φ.整列集合の定義より
min(W-J)が存在する.
x∈J,x>min(W-J)であるとすると★★よりmin(W-J)∈Jとなってしまい,
x∈J,x=min(W-J)であることはありえない.
よってx∈Jならx<min(W-J)となりx∈W<min(W-J)>.即ちJ⊂W<min(W-J)>.
また,(W-J)∩W<min(W-J)>≠Φであるとするとx∈(W-J)∩W<min(W-J)>
なるWの元xが存在することになるがx∈W-Jだからmin(W-J)≦xとなりx∈W<min(W-J)>
とはなりえない.よってW<min(W-J)>⊂J.■
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