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「集合・位相入門」輪読会
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運動会の玉入れを考えてみて下さい。赤組が7個、白組が5個入れたとします。
競技終了後、かごから一つずつ玉を取り出し、取り出した順に赤組は
①②③・・・,白組は⑪⑫⑬・・・というシールを貼り、左から一列に並べてみます：
赤組 ①②③④⑤⑥⑦ これを元とした集合をWとします。
白組 ⑪⑫⑬⑭⑮ おなじくこれを元とする集合をW'とします。
W,W'は整列集合です(順序は○の中の自然数の大小関係と考えてください)。
さて、玉をより多く入れたのは・・・明らかに赤組ですね。でもどうしてすぐにそう判断できた
のでしょうか？そう考えてみると、無意識のうちに、頭の中で①と⑪、②と⑫・・・というペア
がどこまで作れるか、で比較していることがわかると思います。この場合⑤と⑮が最後の
ペアで、⑥⑦に対応する白組の玉はありません。したがって赤組がより多くの玉を入れた
とわかります。ここで、①を⑪に、②を⑫に、・・・⑤を⑮に対応させているわけですが、
この対応fはW<⑥>からW'への順序同型写像にほかなりません。
よってこの場合定理4の3)が成立しています。
鍵になるのは順序同型な集合{①,②,③,④,⑤}と{⑪,⑫,⑬,⑭,⑮}を構成したことです。
そこで、定理4の証明の方針です。W<x>〜W<x'>をみたすx,x'の組を考え、
J={x∈W｜∃x'∈W'；W<x'>〜W<x>}、J'={x'∈W'｜∃x∈W；W<x>〜W'<x'>}とおく。
J〜J'を示す。JがWorその切片、かつJがW'orその切片となることを示す。JもJ'も切片となる
ことは、J,J'の元以外のペアが余っていることになり、不適。よって1)or2)or3)。
こんな感じです。
これで俺は以下に書く証明を不自然だとは思わなくなりました。
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