「集合・位相入門」輪読会 - 1078049875

1：９ （SpxcWT76）：2004/02/29(日) 19:17: とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
745：名無し研究員さん：2004/10/13(水) 14:19: >>738->>744
乙です。えと、先ず、引用はレス番号をつけていただけませんか？

>>740
f(n)=2nがNからPへの全単射であることの証明を書いてください。

>>743
えーーと、高校範囲です。意欲的な大学が入試に出す可能性もあるような。
でも、２ｃｈねらの何パーセントの人たちは奇問扱いするだろな。
本スレに投下してみようか。

問題
f(x)を閉区間[a,b]上で定義された連続関数であるとする。
このとき{f(x)|a≦x≦b}も閉区間であることを示せ。
ただし必要ならば中間値の定理と最大(小)値原理を使ってもよい。

最大(小)値原理：閉区間上で定義された連続関数は最大(小)値をもつ。
746：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/13(水) 14:20: ↑名まえつけ忘れ。
747：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 16:15: >>745
レス番わからないんです・・・。過去ログほとんど見れないもので・・・。

任意の2n∈Pに対してn∈Nがただ1つだけ存在するから全単射。

投下してみましょう。
748：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 16:16: 　B) Bernsteinの定理
　集合A,Bが対等であることを示すには、もちろん、AからBへの全単射
をつくってみればよいわけであるが、このような全単射の存在を、(いちい
ち"具体的に"構成するまでもなく)、ある一般的な原理によって保証する
ことのできる場合がある。次の定理は、そのような保証を与える命題として
実用上最も有効なものである。
　定理２(Bernsteinの定理)　AからBへの単射が存在し、BからAへの単射も
存在すれば、AとBとは対等である。
749：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 16:31: 　定理の証明に移る前に、この定理をいろいろの形にのべかえておこう。
　まず、第1章定理7の系によれば、集合Xから集合Yへの単射が存在する
ことと、YからXへの全射が存在することとは同等であるから、定理2は、
次の定理2'あるいは定理2''のようにのべかえることができる。
　定理2'　AからBへの単射および全射が存在すれば、AからBへの全単射
が存在する。
　定理2''　AからBへの全射が存在し、BからAへの全射も存在すれば、
AとBとは同等である。
750：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 16:54: 　また、集合Xから集合Yへの単射φが存在するとき、φ(X)=V(φ)=Y_1
とおけば、φの終集合をY_1に変えた写像φ_1はXからY_1への全単射である。
したがってX～Y_1,Y_1⊂Yとなる。逆に、X～Y_1であるようなYの部分集合
Y_1が存在するとき、XからY_1への全単射φ_1の終集合をYに変えた写像φ
はXからYへの単射となる。ゆえに、定理2は、また次の形にものべかえら
れる。
　定理2'''　A,Bを2つの集合とし、Aと対等であるようなBの部分集合B_1
およびBと対等であるようなAの部分集合A_1が存在する、と仮定する。そ
のとき、AとBとは対等である。
751：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 17:11: 　定理2の証明　fをAからBへの単射、gをBからAへの単射とする。
このとき、AからBへの全単射Fが存在することを示すのが、われわれの
目標である。もしfが全射ならば、f自身がAからBへの全単射であるから、
F=fとすればよい。そこで以下ではf(A)=V(f)はBには等しくないとし、
f(A)のBに対する補集合をB-f(A)=B_0とする。次に
　　g(B_0)=A_1,f(A_1)=B_1,...,g(B_(n-1))=A_n,f(A_n)=Bn,...
として、Aの部分集合族(A_n)_(n=1,2,3,...),Bの部分集合族(B_n)_(n=0,1,2,...)
を定め、
　　　　　　∪[n=1,∞]A_n=A_*,∪[n=0,∞]B_n=B_*
　　　　　　A-A_*=A^*,B-B_*=B^*
とおく。このとき、
(1.4)　　　　　　　　f(A^*)=B^*
(1.5)　　　　　　　　g(B_*)=A_*
であることが、次のように示される。
752：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 17:30: まず、fは単射であるから、第1章§4,問題5(c)によって(+第1章§2,問題5(a))
　　　　f(A^*)=f(A)-f(A_*)=(B-B_0)-f(A_*)=B-(B_0∪f(A_*))
ここで、第1章(5.3)により
　　　　　　　　f(A_*)=f(∪[n=1,∞]A_n)=∪[n=1,∞]f(A_n)=∪[n=1,∞]B_n
したがってB_0∪f(A_*)=∪[n=0,∞]B_n=B_*,ゆえに
　　　　　　　　　　　f(A_*)=B-B_*=B^*
すなわち(1.4)が成り立つ。また、第1章(5.3)によって
　　g(B_*)=g(∪[n=0,∞]B_n)=g(∪[n=1,∞]B_(n-1))=∪[n=1,∞]g(B_(n-1))
=∪[n=1,∞]A_n=A_*
すなわち(1.5)が成り立つ。
753：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 17:55: 　さて、fは単射で、(1.4)が成り立つから、fの定義域をA^*に縮小し、かつ
終集合をB^*に変えた写像をF^*とすれば、
　　　　　　　　　　　　　　F^*:A^*→B^*
は全単射である。同様に、gが単射で、(1.5)が成り立つから、gの定義域を
B_*に縮小し、かつ終集合をA_*に変えた写像をG_*とすれば、G_*:B_*→A_*
も全単射である。この逆写像であるA_*からB_*への全単射を
　　　　　　　　　　　　　　F_*:A_*→B_*
とする。そこで、AからBへの写像Fを
　　　　　　　　F(a)=F^*(a)　(a∈A^*のとき)
　　　　　　　　　　=F_*(a)　(a∈A_*のとき)
によって定義すれば、F:A→Bは明らかに全単射となる。(証明終)
　上の証明でA^*やB^*はΦとなることもあり得るが、その場合はF=F_*とすればよい。
754：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 18:13: 　定理2-2'''の1つの応用として、実数の任意の閉区間[a,b]がRと対等で
あること(前項,例5の後の注意)を示しておこう。[a,b]はもちろんRの
部分集合である自分自身と対等である。また、前項の例5により、Rは[a,b]
の部分集合(a,b)と対等である。ゆえに、定理2'''により、[a,b]とRとは
対等となる。
755：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/13(水) 18:23: 疑問1:>>753の最終行について
A_*=A⇔B_*=Bがいえる、ということでしょうか？証明できません・・・
疑問2:証明全体について
正しいことはわかりますが巧妙な感じ。イメージがわかない(有限集合で実験しようとしても
明らかに全単射(第1章§4,問題16)だから意味がないし・・・)
756：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/14(木) 01:41: >>747
すみません。過去ログ送ります。
直接には
f(n)=f(m)⇔2n=2m⇔n=mだからfは単射,
x∈Pとすればx=2yとなるNの元yが存在するのでx=2y∈f(N)となりfは全射。
とすればよかったかと。

>>752
六行目は
f(A^*)=B-B_*=B^*
ですね。

>>755
疑問1について:A_*=Aとなることもあるかもしれんし
B_*=Bとなることもあるかもしれない。そのときはF=F_*とすべし。
と書いてあるだけでA_*=AとB_*=Bが同値であるとは書いてないのでは？

疑問2について:f：N→N,f(n)=n+10,g：N→N,g(n)=n+5
としてFを作ったりはできませんかね。
757：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/14(木) 03:45: その通りです。ちょっと本の真似をしてみただけです・・・。

その通りです。すいません。

A_*=AならばB_*=BでないとF=F_*がA→Bの全単射にならない
B_*=BならばA_*=AでないとF=F_*がA→Bの全単射にならない
のではないかと思ったのですが。

やてみます。
758：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/15(金) 02:02: やってみますた。
ちょっとだけイメージがつかめたような気がします。
しかしこれ到底思いつかないですねぇ・・・。

>>757の真ん中の疑問ですが、俺なんかとんでもなく変な事言ってます？
759：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/15(金) 17:18: ギアが噛み合うイメージ理解できますた。
A→B-B_0が全単射であることがポイントになってるかと。
760：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/16(土) 01:09: A→B-B_0が全単射であることからA_*=A⇔B_*=Bも理解できますた。
761：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/17(日) 00:05: Ｃ）濃度の概念
定理１(>>739)によって集合間の対等関係は第一章§１(>>667-)で定義した同値関係と同じ性質を持ち
ます。すべての集合の集合というものがあれば,文句なしに集合間の対等関係は同値関係です.しかし
>>551で述べたようにラッセルのパラドックスが生じたりという事態が考えられるのですべての集合の
集合なんてものは素朴集合論では考えません.しかし,全体集合にこだわらなければ集合間の対等関係
はまあ,同値関係といっていいでしょう.すると”類別”したときの”同値類”を考えることができます
が,これを濃度(cardinality)または基数と呼ぶことにしましょう.ですから濃度は一応「集合を元とす
る集合を1つの元とみたもの」となりますが,集合Aの属する同値類をAの濃度と呼ぶことにし,
card(A)と書くことにします.濃度の定義より
　A～B⇔card(A)=card(B)
です.
762：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/17(日) 00:06: Aをn個の元を持つ有限集合とするとAと対等な集合はn個の元を持つ有限集合のみです(>>509参照)から
Aと対等関係にある類,すなわちAの濃度を表す指標としては「n」を使いたいところです.…使うことに
しましょう.即ち以後card{1}=card{a}=card{b}=1,card{a,b}=2と書きましょう.まあしなくてもいい注
意かもしれませんが濃度の指標として自然数を借用しただけで厳密にはcard{a,b}∈Nというわけでは
ありません.ともあれこの自然な指標からもわかるように有限集合については濃度と個数は同じ意味で
す.
あ,cardΦ=0ね.
有限集合の濃度を有限の濃度,無限集合の濃度を無限の濃度と略していう習慣があります.
cardNは無限の濃度の一種です.可算の濃度とか可付番の濃度といいます.アレフ_0と書きます.
この掲示板にはアレフの文字が使えないのでcardNと書くことにしましょうか.
cardRも無限の濃度の一種です.連続の濃度といいます.アレフときます.これもこの掲示板では
cardRと書きましょう.次節でcardN≠cardRを示す予定です.
一般には濃度を表す文字としてドイツ文字を使いますがそんなのもでないので普通にラテン文字
で代用しましょう.
763：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/17(日) 16:12: Ｄ）濃度の大小
有限集合では,濃度と個数は同じ概念ですから,自然数の大小の順序をもって有限の濃度の大小の順
序を定めるのは自然なことでしょう.
ここでは一般の集合についての濃度の大小を定義します.
筋道は次の通り.
(i)　　　　Bをひとつの集合としたとき,B_1⊂BならcardB_1≦cardBと定める.
　　　　　この定め方は大小の観念からきわめて自然ですが,注意すべきは
　　　　　B_1⊂BかつB_1≠Bのとき(このときB_1はBの真部分集合といいます)
　　　　　cardB_1<cardBであると定めるわけにいかないことです.実際,>>740
　　　　　でみたようにP={n|nは正の偶数}はNの真部分集合ですがcardP=cardN
　　　　　です.>>742で見たようにcard(a,b)=cardRだし.この「濃度が同じ真
　　　　　部分集合を持つ」というのは無限集合の特徴です.
764：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/17(日) 16:13: (ii)　　　A,Bを2つの集合とし,AがBのある部分集合B_1と対等であるなら
　　　　　cardA≦cardBと定める.
　　　　　(i)を認めるなら当然要請される条件ですね.
　　　　　AがBのある部分集合と対等であるということはAからBへの単射が存在
　　　　　することと同値であるので(ii)は次の(ii)'と言い換えられます.
(ii)'　　　AからBへの単射が存在するときcardA≦cardBと定める.
　　　　　(ii)または(ii)'は具体的に与えられた集合A,Bの濃度の大小を定義した
　　　　　だけであって2つの濃度の大小そのものを定義したものではありません.
　　　　　そこで
(iii)　　　mとnが濃度でありcardA=m,cardB=nであるとする.このときAからBへの
　　　　　単射が存在すればcardA≦cardBであると定める.
　　　　　一見なるほどと思える定め方ですが,この定め方では,確かめなければ
　　　　　ならないことが残っています.つまりmを濃度とする集合はAだけである
　　　　　かどうかはわからないしnを濃度とする集合もBだけだとも限りませんので
　　　　　A,Bとは別にcardA'=m,cardB'=nであるとしてAからBへの単射が存在する
　　　　　ならA'からB'への単射が存在しないと(iii)の定義は矛盾なく定義されて
　　　　　いるとは言いがたいのです.(矛盾なくされた定義のことをwell-defined
　　　　　な定義といいます.)(iii)がwell-definedであることは,A～A',B～B'で
　　　　　あるからA'からAへの全単射φとBからB'への全単射ψが存在し,AからBへ
　　　　　の単射をfとするとψfφというA'からB'への単射が存在することで示せます.
765：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/17(日) 16:13: 以上の考察により(iii)を二つの濃度の大小の定義とすればよいでしょう.この定義と>>573から
m≦nであることはBからAへの全射が存在することと同値ですね.またm≦nを有限の濃度の大小
とみると自然数の大小としてのm≦nと同値ですが,次の定理３は濃度の大小がこの有限集合の
個数の大小を拡張したものであることを保障するものです.

定理３　　m,n,pを濃度とするとき次のことが成り立つ.
　　　(1.6)　m≦m
　　　(1.7)　m≦n,n≦m⇒m=n
　　　(1.8)　m≦n,n≦p⇒m≦p

証明　m=cardA,n=cardB,p=cardCとする.
　　　(1.6)　A～AだからAからAへの全単射が存在するが,この全単射は勿論単射でもある.
　　　(1.7)　ｶﾞｲｼｭﾂ(>>748->>753)
　　　(1.8)　AからBへの単射fとBからCへの単射gが存在するが,h=g|f(B)とすればhfはAからC
　　　　　　　への単射である.■
766：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/17(日) 16:14: 僕はベルンシュタインの比較定理のステートメントは(1.7)だと記憶してますた.
m≦nでm=nでないときm<nと書きmはnより小さいといいます.任意の有限の濃度は任意の無限の濃度
より小さいですね.(A={1,2,…,m}を有限集合,Bを無限集合とすると,Bは無限集合ですから異なる
(m+1)個の元からなるBの部分集合B_1をとって来れます.このときcardA≦cardB_1でB_1⊂Bだから
cardB_1≦cardB.(1.8)よりcardA≦cardBです.で,実はm=cardA<cardB_1=m+1ですからcardA<cardB
です).
えと,濃度の順序に関する考察で欠けている重大な問題があります.それは
「　　　　　m<n,　　m=n,　　n<m
の3つはどの二つも同時に成り立つことは無く,どれも成り立たないことはありえない」
が真か偽か？という問題です.この問題については次章をﾏﾃ.
767：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/18(月) 04:03: >>761-766
納得です
768：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/19(火) 20:34: 　　§2　可算集合,非可算集合
　A)　可算集合
　cardN=アレフ0を可算あるいは可付番の濃度ということは、§1,C)で述べた。
一般に、濃度アレフ0をもつような集合、すなわちNと対等であるような集合は、
可算集合あるいは可付番集合(countable set,denumberable set)とよばれる。
Aを可算集合とすれば、定義によってNからAへの全単射がある。そのような
全単射の1つをfとし、fによるNの元1,2,･･･,n,･･･の像をそれぞれ
a_1,a_2,･･･,a_n,･･･とすれば
　　　　　　　　　　　　A={a_1,a_2,･･･,a_n,･･･}
　　　　　　　　　　　(ただし、i≠jならばa_i≠a_j)
となる。すなわち、可算集合においては、適当な方法によって、そのすべての
元にもれなく１つずつの自然数の番号がつけられる。("可算"あるいは"可付番"の
語は、この意味で用いられるのである。)
769：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/19(火) 20:47: 　定理4　任意の無限集合は、必ず可算集合を部分集合として含む。
　証明　Mを1つの与えられた無限集合とする。Mからまず任意に1つの元
をとって、それをa_1と名づける。次に、M-{a_1}からまた任意に1つの元
をとって、それをa_2と名づける。一般に、a_1からa_nまでがすでに選ばれた
とき、Mは無限に多くの元を含むから、当然M≠{a_1,a_2,･･･,a_n}、したがって
M-{a_1,a_2,･･･,a_n}≠Φである。そこで、M-{a_1,a_2,･･･,a_n}からさらに任意
に1つの元をとって、それをa_(n+1)と名づける。このようにして、Nの全ての元
1,2,…,n,…に対して、Mから元a_1,a_2,･･･,a_n,･･･を取り出せば、{a_1,a_2,
･･･,a_n,･･･}はMの可算な部分集合となる。
770：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/19(火) 21:10: 　以上は、きわめて平易で直感的な証明であるが、上のようにして、すべての
自然数1,2,･･･,n,･･･に対してMの元a_1,a_2,･･･,a_n,･･･がとり出せることの背景
には、厳密にいえば、選出公理がひそんでいることに注意しなければならない。
それゆえ、われわれは、もう一度上の証明を精緻化してのべ直すことにしよう。
　その前に、(幾分形式的なことであるが)、次の概念を用意しておく。
　一般に、Яを1つの集合系とするとき、Яを定義域とし、Яの各元Aにおいて
値Aをとるような写像φは、Яを添数集合とする1つの集合族と考えられる。
この集合族φを、"Яから自明的に定まる集合族"という。族の記法によれば、
φは(φ_A)_(A∈Я)と表されるが、定義によってЯの任意の元Aに対しφ_A=φ(A)=A
であるから、通常、これを簡単に(A)_(A∈Я)で表す。
771：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/19(火) 21:25: 　そこで、定理4の証明にもどろう。
　前の通り、Mを与えられた1つの無限集合とし、そのすべての空でない部分集合
の集合をЯとする。(すなわち、Я=2^M-{Φ}とする。)そのとき、集合族(A)_(A∈Я)
は空でない集合からなる集合族であるから、選出公理によって、すべてのA∈Яに
対してa_A∈Aであるような元の族(a_A)_(A∈Я)が存在する。このような族(a_A)_
(A∈Я)を1つ定めておき、
　　　a_1=a_M,a_2=a_(M-{a_1}),･･･,a_(n+1)=a_(M-{a_1,･･･,a_n})
としてMの元a_1,a_2,a_3,･･･を定めれば、{a_1,a_2,a_3,･･･}はMの可算な部分集合
となる。(証明終)
772：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/19(火) 21:31: 　定理4と濃度の大小の定義から直ちに次の系が得られる。
　系　ωを任意の無限の濃度とすれば、cardN≦ω。すなわち、cardNは無限の濃度
のうちで最小である。
　この系によってω<cardNである濃度ωは有限の濃度(自然数または0)であることが
わかる。一般に、濃度がcardN以下であるような集合、すなわち有限であるかまたは
可算であるような集合を、たかだか可算な集合という。
773：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/19(火) 23:01: >>768->>772
了解です。
>>769の証明に選択公理が潜んでいることは,事前に気がつきました？
というか>>769の証明に違和感を感じませんでしたか？
>>771で証明をやり直す意義は分かりますか？
774：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/20(水) 00:02: >>773
違和感はありました。
無限集合の場合、取り出す操作の方法を定めないと明らかとはいえない
ということですよね。
>>771でその操作を具体的に構成していると思います。
775：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/21(木) 17:07: Ｂ）可算集合の性質
可算集合の性質に関する定理をば二つばかり。
定理５(１)A,Bがともに高々可算な集合であれば直積A×Bも高々可算な集合である.
　　　　　cardA=アレフ0,B≠ΦならばA×Bは可算集合である.
　　　(２)集合族(A_λ)_{λ∈Λ}(ただしΛ≠Φ)で,どのλに対してもA_λは高々可算,
　　　　　Λも高々可算であるならば∪A_λも高々可算.
　　　　　(高々可算な集合の高々可算個の和は高々可算)
　　　　　cardA_λ=アレフ0なるλが存在すれば∪A_λは可算.
証明　(１)前半:A,Bがともに高々可算な集合であれば単射f∈N^Aと単射g∈N^Bが存在する.
　　　　　φ∈N×N^(A×B)をφ((a,b))=(f(a),g(b))で定義すると
　　　　　φ((a,b))=φ((c,d))⇔(f(a),g(b))=(f(c),g(d))⇔a=c∧b=dだからφは単射.
　　　　　よってcard(A×B)≦card(N×N)=アレフ0(∵>>741).
　　　　　後半:B≠Φよりb∈Bなるbが存在する.ψ∈A^(A×{b})を射影(cf.>>565)
　　　　　とするとψは全射であるのでアレフ0=cardA≦card(A×{b})
　　　　　A×{b}⊂A×Bだからcard(A×{b})≦card(A×B),前半からcard(A×B)≦アレフ0.
　　　　　>>765(1.8),(1.7)からcard(A×B)=アレフ0.
　　　(２)前半:(１)よりΛ×Nは可算.各λに対してA_λは高々可算であるから各λに対して
　　　　　全射f_λ∈(A_λ)^Nがとれる.g∈(∪A_λ)^(Λ×N)をg((λ,n))=f_λ(n)とすれば
　　　　　任意の∪A_λの元aに対してはa∈A_λとなるλが存在し,さらにこのλに対して
　　　　　f_λ(n)=aなるnが存在するのでgは全射.よってcard(∪A_λ)≦card(Λ×N)=アレフ0.
　　　　　後半:A_λ⊂∪A_λだからcard(A_λ)≦card(∪A_λ).前半の結果と>>765
　　　　　(1.8),(1.7)からcard(∪A_λ)=アレフ0.■
776：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/21(木) 17:08: 系　　cardZ=cardQ=cardN.
証明　{-n|n∈N}=Mとおき,f∈M^Nをf(n)=-nで定義するとfは全単射だからN～M.Z=N∪{0}∪Mと
　　　定理５(２)よりcardZ=cardN.
　　　定理５(１)よりZ×N～N.g∈Q^(Z×N)をg((a,b))=a/bとおくとgは全射だから
　　　cardQ≦card(Z×N)=アレフ0.N⊂Qよりアレフ0≦cardQ.従ってcardQ=アレフ0.■
777：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/21(木) 21:05: 定理６　　集合Aを無限集合,集合Bを高々可算な集合であるとする.このときA-Bが無限集合ならば
　　　　　A-B～A
証明　　　A-Bは無限集合だから>>769よりC⊂A-B,cardC=アレフ0なる集合Cが存在する.
　　　　　AはA-B-CとB∪Cの直和,A-BはA-B-CとCの直和であり定理５(２)(>>775)より
　　　　　card(B∪C)=cardC=アレフ0.よって全単射f∈C^(B∪C)がとれる.g∈(A-B)^A
　　　　　をg|(A-B-C)=I_(A-B-C),g|(B∪C)=fとすればgは全単射である.■
系１　　　集合Aを無限集合,集合Bを高々可算な集合であるとする.このときA～A∪B.
証明　　　A∪Bは無限集合,B-(A∩B)はB-(A∩B)⊂Bだから高々可算集合,
　　　　　B-(A∩B)⊂B⊂A∪BでA=(A∪B)-(B-(A∩B))は無限集合だからA～A∪B.■
定理６はBが有限集合のときも成り立つから例えばAが無限集合でa∈AならA-{a}～Aです.このことから
次の系２が成り立ちます.
系２　　　任意の無限集合は自身と対等な真部分集合を持つ.
系２の逆「任意の有限集合は自身と対等な真部分集合を持たない」も真ですので
(∵>>509))系２はその逆命題も成立します.
即ち「自身と対等な真部分集合を持つ集合」を無限集合の定義にしてもかまわないことになります.
778：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/21(木) 21:39: >>777
下から二行目。逆じゃなくって逆の対偶でした。(あるいは裏)。
779：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/10/22(金) 17:34: 今ﾛｸﾞ読んでます。
近いうちに参加する予定ですのでよろしく。
780：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/22(金) 17:50: >>779
お！！
歓迎歓迎！！
疑問質問ダメ出しよろしく！！
よろしければ輪読の担当もよろしく！！！
781：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/22(金) 20:33: >>779
よろしく！
ﾔﾀｰ
782：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/22(金) 20:46: >>775-777
>>777の系1の証明はB-(A∩B)をとっても(A∪B)-Aをとっても
結局やりたいことは同じことなんですね。
>>778
？
783：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/22(金) 20:47: 抜けてました。

>>775-777
納得です
784：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/22(金) 20:56: 下から4行目のことですか
785：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/22(金) 21:00: >>784
何度もスマソ。したから三行目のことです。
786：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/22(金) 21:41: >>785
系２の"逆"
ここのことでは？
787：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/22(金) 21:50: >>786
そうです。
788：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/22(金) 22:00: 画面の幅が原因ですた・・・
789：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/23(土) 22:05: C)　連続の濃度,非可算集合
　定理５の系でみたように、ZやQは可算集合である。しかし、無限集合の
うちには、可算でないものも存在する。(いいかえれば、cardNよりも大きい
無限の濃度が存在する。)実際、実数全体の集合Rは可算集合でないことが示さ
れるのである。すなわち、次の定理が成り立つ。
　定理７　連続の濃度アレフは可算の濃度アレフ0より大きい:
　(2.1)　　　　　　　　　　　　　アレフ0<アレフ
　この定理は、"実数の連続性"とよばれるRの基本的性質にもとづいて、いろ
いろの方法で証明される。しかし、この性質を数学的に整理された形に述べ
ることは後にゆずり[第3章§1,C)の例2参照]、ここでは、実数が十進法による
無限小数として表されるという周知の事実ーこのことも、実は"実数の連続性"
から導かれるのであるがーを用いて、この定理を証明することとする。(これは、
Cantorによる古典的な証明である。)
790：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/23(土) 22:24: 定理７の証明　§1,A)の例5で示したように、実数の任意の開区間はRと
対等である。したがって、たとえば開区間J=(0,1)も連続の濃度アレフをもつ。
アレフ0≦アレフであることは明らかであるから、(2.1)を示すには、アレフ0≠アレフ
であること、すなわちNとJが対等でないことをいえばよい。それには、NからJ
への任意の写像がけっして全射とはなりえないことを証明すれば十分である。
　Jの任意の元(すなわち、0より大きく1より小さい任意の実数)は、十進法の
無限小数として
　(*)　　　　　0.a_1a_2･･･a_n･･･　　(a_iは0から9までの整数)
の形に表される。ただし、たとえば0.25000･･･=0.24999･･･のように2通りの
表し方があるもの(いわゆる"有限小数")については、記法に一意性をもたらす
ために、いつも前者の記法を採用することとする。逆に、(*)の形の無限小数
で、a_n≠0となるnが少なくとも1つ存在し、また9が無限に続くことはないような
ものは、それぞれ1つのJの元を表し、かつそのような2つの無限小数0.a_1a_2･･･a_n･･･,
0.b_1b_2･･･b_n･･･がJの同じ元を表すのは、明らかに、すべてのnに対してa_n=b_nである
ときに限る。
791：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/23(土) 22:55: fが全射ではないこと、すなわち、fの値域V(f)={f(1),f(2),･･･,f(n),･･･}
がJ全体とは成りえないことの証明である。V(f)の各元を、(上の約束に従って)
無限小数で表したものをそれぞれ
　　　　　　　　　　　f(1)=0.a_1^(1)a_2^(1)･･･a_n^(1)･･･
　　　　　　　　　　　f(2)=0.a_1^(2)a_2^(2)･･･a_n^(2)･･･
　(**)　　　　　　　　･･･････････････････････････････
　　　　　　　　　　　f(n)=0.a_1^(n)a_2^(n)･･･a_n^(n)･･･
　　　　　　　　　　　･･･････････････････････････････
とする。そこで、各n∈Nに対して、b_nを
　　　　　　　b_n=　1(a_n(n)が偶数のとき)
　　　　　　　　　　2(a_n(n)が奇数のとき)
によって定め、
　　　　　　　　　　　　　　　β=0.b_1b_2･･･b_n･･･
とおく。そうすれば、もちろんβも0より大きく1より小さい実数、すなわち
Jの元であるが、どの自然数nに対しても、b_nの定め方によって、βの小数第n位
b_nとf(n)の小数第n位a_n^(n)とは相異なる。したがって、どのn∈Nに対しても
βはf(n)と等しくない。ゆえにβ∈{V(f)}^c。これでV(f)はJ全体とは一致しないことが
示された。(証明終)
792：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/23(土) 23:31: 注意　上の証明の要点は、(**)の"対角線"からつくられる小数0.a_1^(1)a_2^(2)･･･a_n^(n)･･･
に注目して、これとすべての小数位において異なる小数βを考えるところにある。この
証明で用いたような論法は、しばしば(Cantorの)対角線論法とよばれる。
　一般に、可算でないような無限集合、すなわちアレフ0よりも大きい濃度をもつ
ような集合を、非可算集合という。定理7によって、実数全体の集合Rは1つの非可算集合
である。
793：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/23(土) 23:56: >>789->>792
了解です。

進みますか。

Ｄ)冪集合の濃度
前小節ではアレフ0<アレフであるということを示したわけですが
次の定理はどんな濃度よりも大きな濃度が存在することを、
従っていくらでも大きな濃度が存在することを保証する定理です。
定理８　Mを任意の集合とするときcardM<card(2^M)
証明　　f∈(2^M)^Mをf(a)={a}と定めるとf(a)=f(b)⇔{a}={b}⇔a=bなので
　　　　fは単射.よってcardM≦card2^M.
　　　　g∈(2^M)^Mが全射であるとする.B={a∈M|￢(a∈g(a))}とおくと
　　　　a∈g(a)ならば￢(a∈B)なのでg(a)≠B,
　　　　￢(a∈g(a))ならばa∈Bなのでg(a)≠B.
　　　　これは￢(B∈V(g))であることを示している.不合理.■

§２終了。
794：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/24(日) 00:43: >>793
了解です。これも逆から読むとわかりやすいですね。
795：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/10/25(月) 00:20: >>760まで理解しました
あと1日あれば追いつける
796：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/25(月) 01:02: >>795
まじですか！！
追いついたら担当に加わってくれませんか？
本は持ってますよね？
そうしてもらえると非常にありがたいのですが・・・
797：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/27(水) 20:10: 　§３　濃度の演算
　A)　濃度の和と積
　自然数の和および積の拡張として、濃度の和および積を次のように定義する。
　まず、m,nを２つの濃度とするとき、m=cardA,n=cardB,A∩B=Φであるような
集合A,Bをとり、
　　　　　　　card(A∪B)=m+n
と定義する。この和の定義は、集合A,Bのとり方にはよらない。実際、A,Bとともに
A',B'もm=cardA',n=cardB',A'∩B'=Φである集合とすれば、A～A',B～B'であるから、
AからA'への全単射f、BからB'への全単射gが存在する。そこで、A∪BからA'∪B'への
写像φを、x∈Aに対してはφ(x)=f(x)、x∈Bに対してはφ(x)=g(x)として定義すれば、
明らかにφはA∪BからA'∪B'への全単射となる。したがって、A∪B～A'∪B'。ゆえに
card(A∪B)=m+nは、濃度m,nに対して一意的に定まるのである。
　なお、もう1つ、上の和の定義がいつも可能であることを保証するには、濃度m,n
に対して、必ずcardA=m,cardB=n,A∩B=Φであるような集合A,Bのあることをいって
おかなければならない。しかし、このことは、次のようにして簡単に知られる。まず
cardA=m,cardB=nとなるA,Bがあることは、当然である。このとき、もしA∩B≠Φならば、
A'={0}×A={(0,a)|a∈A}、B'={1}×B={(1,b)|b∈B}とおけば、明らかにA～A',B～B'
(すなわちcardA'=m,cardB'=n)、かつA'∩B'=Φとなるから、A,BのかわりにこのA',B'を
とればよい。
798：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/27(水) 21:10: 　上の和の定義において、m,nが自然数(有限の濃度)m,nである場合には、m+n
は通常の意味での自然数の和と一致することは明らかである。
　また、次のような性質も明らかであろう。
　(3.1)　　　　　　　　　　　m+n=n+m
これは、A∪B=B∪A,A∩B=Φ⇔B∩A=Φより明らか。
　(3.2)　　　　　　　　　(m+n)+p=m+(n+p)
これは、(A∪B)∪C=A∪(B∪C)だから、A∩B=Φ,B∩C=ΦとなるA,B,Cがとれる
ことを示せばよい(このとき、(A∪B)∩C=A∩(B∪C)=Φ)が、>>797のようにA'={0}×A,
B'={1}×B,C'={2}×Cなどとして示せばよい。　
　(3.3)　　　　　　　　　　　m+0=m
これは、A∪Φ=Aより明らか。
　(3.4)　　　　　　　m≦m',n≦n'⇒m+n≦m'+n'
これは、AからA'への単射f,BからB'への単射gが存在するとき、x∈Aに対してφ(x)=f(x)
x∈Bに対してφ(x)=g(x)と定義すれば、φはA∪BからA'∪B'への単射となることから示される。
799：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/27(水) 21:12: ちょと自信ないのでつっこみよろしくお願いします
800：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/27(水) 21:29: >>797
了解です。
>cardA=m,cardB=nとなるA,Bがあることは、当然である。
当然なんですがA=[1, n]∩Nって具合に例を挙げておけばよいと思います。

>>798
了解です。自信のないとこどこですか？
801：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/27(水) 22:56: >>800
(3.1)～(3.4)の証明(？)の部分です。
802：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/10/27(水) 23:11: 一応全部読み終わったんですが
どうやって参加すればよいかな？
テキストは用意しました。
803：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/27(水) 23:16: >>801
>>800のコメントはちょっと訂正です。
>cardA=m,cardB=nとなるA,Bがあることは、当然である。
のmとかnとかって有限の濃度とは限ってないんですね。
じゃあ
mは定義により同値類だから代表元Aを持つとかいった方がいいですね。

(3.2)は
「cardA=m,cardB=n,cardC=pなる集合A,B,Cをとってくると」ってのを
冒頭に書いておくとすっきりするのでは。
804：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/27(水) 23:18: >>802
おお！！参加してくれますか。
見てのとおりテキストを持ってない人間にも
分かる説明をネット上でってのがルールです。
現在二章二節A)をLAR-men氏が担当しておりますので
終わり次第、B)を担当してみませんか？
805：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/10/28(木) 00:12: >>804
可算集合の性質というところでよいのかな？
806：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/28(木) 18:39: >>805
あ、失礼。今LAR-men氏が担当してるのは二章三節Ａ)でした。
Ｂ)は私が担当しますんで、C)を担当してみませんか？
807：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/28(木) 21:09: 　次に、濃度m,nに対して、m=cardA,n=cardBとなる集合A,Bをとり、
　　　　　　　　　　　　　card(A×B)=mn
と定義する。この積もm,nによって一意的に定まり、A,Bのとり方にはよらない。
それをみるには、A～A',B～B'ならばA×B～A'×B'であることを確かめればよい
わけであるが、この検証は練習問題として読者にゆだねる。

↑A～A'よりAからA'への全単射fが存在し、B～B'よりBからB'への全単射gが存在
する。このとき、A×BからA'×B'への写像hをh(a,b)=(f(a),g(b))　(a∈A,b∈B)
とすれば、hは明らかに全単射となる。よってA×B～A'×B'。
808：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/28(木) 21:20: >>807
∀(s,t)∈A'×B',∃a∈A,∃b∈B;f(a)=s∧g(b)=tよりhは全射,
h(a,b)=h(c,d)⇔f(a)=f(c)∧g(b)=g(d)⇔a=c∧b=dよりhは単射
ですね。(こういうのは書いたほうがいいと思う。)
809：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/28(木) 21:42: 　m,nが自然数ならば、いま定義した積は通常の意味での自然数の積と一致
する。[第１章§3,A)]
　また、次の性質も明らかである。
　(3.5)　　　　　　　　　　　mn=nm
これは、A×BからB×Aへの写像fをf(a,b)=(b,a)　(a∈A,b∈B)とすればfは
明らかに全単射だからA×B～B×Aとなることより明らか。
　(3.6)　　　　　　　　　　(mn)p=m(np)
これは、(A×B)×C=A×(B×C)=A×B×Cより明らか。
　(3.7)　　　　　　　　　　m･0=0,m･1=m
これは、A×Φ=Φ,A×{1}～Aより明らか。
　(3.8)　　　　　　　　m≦m',n≦n'⇒mn≦m'n'
これは、AからA'への単射f、BからB'への単射gが存在するとき、A×BからA'×B'
への写像hをh(a,b)=(f(a),g(b))　(a∈A,b∈B)とするとhは単射となることから
明らか。
　(3.9)　　　　　　　　　　(m+n)p=mp+np
これは、A∩B=Φのとき、(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)かつ(A×C)∩(B×C)=Φより
明らか。
810：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/28(木) 22:01: 　注意　(3.1)-(3.9)のような性質は、自然数(および0)の間の和、積に関する
性質と全く同じである。しかし、無限の濃度をも考える場合には、"m+p=n+p⇒
m=n;mp=np⇒m=n"のような"簡約律"は成り立たないことに注意しなければならない。
(たとえば、定理5から明らかに、アレフ0=1+アレフ0=2+アレフ0=･･･=アレフ0+アレフ0,
アレフ0=2アレフ0=3アレフ0=･･･=アレフ0アレフ0である。)
　なお、次の定理は和と積とを関連づけるものとして重要である。
　定理9　集合族(A_λ)_(λ∈Λ)において、cardΛ=n,すべてのλ∈Λに対してcardA_λ=m
とし、またλ,λ'がΛの異なる元ならばA_λ∩A_λ'=Φであるとする。そのときは
　　　　　　　　　　　　　　card(∪[λ∈Λ]A_λ)=mn
となる。(この定理は、いわば"mをn回加え合わせたものはmnである"ことを意味する)
811：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/28(木) 22:39: 　証明　cardA=mである1つの集合Aをとれば、どのλ∈ΛについてもA～A_λである
から、AからA_λへの全単射f_λがある。そこでA×ΛからB=∪[λ∈Λ]A_λへの写像fを
　　　　　　　　　　　　f(a,λ)=f_λ(a)　(a∈A,λ∈Λ)
と定義すれば、fはA×ΛからBへの全単射となる。実際、A×Λの元(a,λ),(a',λ')に
対し、f(a,λ)=f(a',λ')すなわちf_λ(a)=f_λ'(a')とすれば、f_λ(a)∈A_λ,f_λ'(a')
∈A_λ'で、もしλ≠λ'ならばA_λ∩A_λ'=Φであるから、当然λ=λ'。またf_λは単射である
からa=a'。すなわちf(a,λ)=f(a',λ')ならば(a,λ)=(a',λ')。ゆえにfは単射である。
またbをBの任意の元とすれば、b∈A_λとなるようなλ∈Λが(ただ1つ)あり、f_λはAからA_λ
への全射であるから、b=f_λ(a)となるAの元aがある。すなわち、b=f(a,λ)となるような(a,λ)
∈A×Λが存在する。ゆえにfは全射である。したがって、cardB=card(A×Λ)=mn。(証明終)
　定理9によって、特に
　　　　　　　　m+m=m2=2m,m+m+m=m3=3m,･･･
となる。
812：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/28(木) 22:43: >>808
すいません雑です
他にも突っ込みどころがあればお願いします
813：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 00:32: >>809
(A×B)×CとA×(B×C)とA×B×Cは別の集合では？

A×Φ⊂Φを示してください。

(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)は示すか,リンク先を書いてください。
814：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 00:51: >>810
>>811
完璧に納得。

>>811のような写像の作り方、この手の定理の証明につきものですね。
815：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 00:59: (A×B)×C～A×B×C～A×(B×C)でした

http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/p0
の17でどうでしょう

直観的に明らかだと思うんですが
記号での証明がうまくいきません・・
816：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 03:04: (a,b)∈(A∪Ｂ)×C⇔(a∈A∪B)∧(b∈C)⇔((a∈A)∨(a∈B))∧(b∈C)
⇔((a∈A)∧(b∈C))∨((a∈B)∧(b∈C))
⇔((a,b)∈A×C)∨((a,b)∈B×C)⇔(a,b)∈(A×Ｃ)∪(B×C)
817：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 03:38: >>816
なるほど～
818：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 06:37: (A×B)×CからA×(B×C)への写像fをf((a,b),c)=(I_A,(I_B,I_C))　(a∈A,b∈B,c∈C)
とすればfは明らかに全単射。よって(A×B)×C～A×(B×C)。

一番上はこんなんでいいですか？
819：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 11:08: >>818
f((a, b), c)=(a, (b, c))ですね。
f((a,b),c)=(I_A,(I_B,I_C))だとfが(A×B)×CからA^A×(B^B×C^C)への写像になってしまう。
820：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 16:53: f(a,b,c)=(I_A(a),(I_B(b),I_C(c)))ならばおｋですか？
f(a,b)=(b,a)とf(a,b)=f(I_B(b),I_A(a))は別物ですか？
821：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 17:24: >>820
おｋです。
おなじです。
822：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 17:33: >>821
最初に書いたf((a,b),c)=(I_A,(I_B,I_C))だと
そもそも写像なのか(定値写像？)なんなのかわからないという
ことですか？
823：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 18:02: >>822
そうです。
そうかくとfは
すべての(A×B)×Cの元((a, b), c)を一つの決まった
(I_A,(I_B,I_C))というA^A×(B^B×C^C)の元に写す
定値写像という意味になってしまいます。
824：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 18:38: 納得しました
825：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 04:47: Ｂ)濃度の冪
m,nがともに1以上の濃度であるとします.cardA=m,cardB=nなる集合A,Bがとれますが
このときA^Bの濃度を冪m^nと定義します.この定義がwell-definedであることを言うためには
A～A',B～B'ならA^B～A'^B'がいえなきゃなんないけど,u∈A'^A,v∈B^B'なる全単射u,vをとっておいて
(A'^B')^(A^B)の元ΦをΦ(f)=ufvとおくと,任意のg∈A'^B'にたいしてu^{-1}gv^{-1}∈A^Bで
Φ(u^{-1}gv^{-1})=uu^{-1}gv^{-1}v=g.だからΦは全射,
Φ(k)=Φ(h)⇔ukv=uhv⇔u^{-1}ukvv^{-1}=u^{-1}uhvv^{-1}⇔k=hだからΦは単射だからおｋです.
m,nが自然数のときのm^nと濃度の冪としてのm^nが一致することは既に見ました.(>>471)

(3.10)　n^1=n,1^m=1

証明:前半:cardA=nなる集合Aと集合{1}をとる.Φ∈(A^{1})^Aを各λ∈Aに対して
Φ(λ)=f_λ,f_λ(1)=λと定義するとすべてのA^{1}の元gに対してg(1)∈Aが存在して
Φ(g(1))=f_(g(1)).f_(g(1))(1)=g(1)だからf_(g(1))=g.よってΦは全射.
Φ(λ)=Φ(η)⇔f_λ=f_η⇔λ=ηよりΦは単射.よってA^{1}～A.
後半:cardB=mなる集合Bと集合{1}をとる.h∈{1}^Bとすると,すべてのBの元bに対して
h(b)=1,これは{1}^Bの元ならどんなものにでもいえる性質であるので{1}^Bは値1をとる
定値写像のみからなる集合である.よって{1}^B～{1}.■
826：我疑う故に存在する我：2004/10/31(日) 14:21: 　　　　　　　　　 ...,､ -　､∞
　　　　　　,､ '　ヾ　、;;;;;;;　丶,､ -､
　　　　／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　 |　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　イ　　∫　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　▽　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　／ヾ_　　◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
とは云わない
827：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 16:19: (3.11)m≦m',n≦n'⇒m^n≦m'^n'

証明:cardA=m,cardA'=m',cardB=n,cardB'=n'なる集合A,A',B,B'をとる.
m≦m',n≦n'より全射u∈A^A'と単射v∈B'^Bが存在する.
(B'^A')^(B^A)の元ΦをΦ(f)=vfuと定義すると
Φ(f)=Φ(g)⇔vfu=vgu.このとき>>569よりv'v=I_B,uu'=I_Aなるv'∈B^B',u'∈A'^Aが存在する.
よってf=g,即ちΦは単射.■

次の定理は,濃度の冪についていわゆる指数法則が成り立つというものです.

定理１０　0でない任意の濃度m,n,pに対して
(3.12)p^mp^n=p^(m+n)
(3.13)(mn)^p=m^pn^p
(3.14)(p^m)^n=p^(mn)

証明:集合A,B,CをcardA=m,cardB=n,cardC=p,A∩B=Φを満たす集合とする.
(3.12):Φ_1∈((C^A×C^B)^(C^(A∪B))をΦ_1(f)=(f|A,f|B)と定義すると
任意のC^A×C^Bの元(g,h)に対してk∈C^(A∪B)をk(x)=f(x) if x∈A,k(x)=g(x) if x∈B
で定義するとΦ_1(k)=(g,h).よってΦは全射.
Φ_1(u)=Φ_1(v)⇔(u|A,u|B)=(v|A,v|B)⇔u=vよりΦ_1は単射.
828：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 18:16: (3.13)(mn)^p=m^pn^p
(3.14)(p^m)^n=p^(mn)
(3.13):Φ_2∈(A^C×B^C)^((A×B)^C)をΦ_2(f)=(pr_Af,pr_Bf)と定義すると
任意のA^C×B^Cの元(g,h)に対してk∈(A×B)^Cをk(c)=(g(c),h(c))なる写像kが存在し,
Φ_2(k)=(g,h).よってΦ_2は全射.
Φ_2(u)=Φ_2(v)⇔(pr_Au,pr_Bu)=(pr_Av,pr_Bv)⇔u=vよりΦ_2は単射.

(3.14):Φ_3∈((C^B)^A)^(C^(A×B))を次のように定義する.
任意のC^(A×B)の元fに対してΦ_3(f)∈(C^B)^AをΦ_3(f)(a)=f(a,･).
ここで記号f(a,･)はC^Bの元でf(a,･)(b)=f(a,b)であるものとする.
このとき任意のg∈(C^B)^Aに対してh(a,b)=g(a)(b)でh∈C^(A×B)を定義すると
Φ_3(h)=g.よってΦ_3は全射.
Φ_3(u)=Φ_3(v)ならば任意の(a,b)∈A×Bに対してu(a,b)=v(a,b)なのでu=v.
よってΦ_3は単射.■
829：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 18:29: >>557で述べたようにΠ[λ∈Λ]B_λですべてのλでB_λ=Bであったとすると
ΠB_λ=B^Λとなります.ですからこのときcard(ΠB_λ)=(cardB)^(cardΛ)で,
これは標語的に言えば
m"個"のものをn"回"かければm^n
であることを表しています.
またAの冪集合は>>472で触れたとおり{0,1}^Aと対等です.このことが
Aの冪集合を2^Aと書き表す根拠となっていました.card(2^A)=2^(cardA)です.
したがって定理８(>>793)を簡単に述べればm<2^mとなります.
830：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/10/31(日) 19:13: ｺﾝﾊﾞﾝﾊ
いきなり質問で恐縮ですが
上のｆ｜Ａとかｖ｜Ａはどういう意味の記号なんでしょうか
831：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 19:16: >>830
あ、出てきたと思ってた。えっとf|Aはfの定義域をAに制限した写像です。
832：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/10/31(日) 20:42: 出てきてた。失礼した
833：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/02(火) 07:44: (3.15)　2^m>m
についての言及がないようだけど先に進めていいの？
834：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/02(火) 13:18: >>833
>>829の最後の三行に書いたつもりですが。
835：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/03(水) 20:58: >>825-827
納得です。
細かいですが、
>>827
下から3行目f(x)→g(x)、g(x)→h(x)では？
>>828
m=cardB,n=cardAですか？
836：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/03(水) 21:01: >>825-829の間違いでした。

(3.14)が今1つよくわからないです・・・
837：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/04(木) 01:19: >>835
>>827のご指摘そのとおりです。すみません
>>828のご指摘
Φ_3の属する集合、((C^B)^A)^(C^(A×B))∈((C^B)^A)^(C^(B×A))
に換えて読んでみてください。
838：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 07:31: >>834
見落としすまん
LAR-men殿の疑問が解決したら次に進ませてもらいまつ
839：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/04(木) 11:17: >>838
おｋです
Cお願いできますか？
840：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/04(木) 13:45: 訂正の訂正。>>837下から二行目、
×　Φ_3の属する集合、((C^B)^A)^(C^(A×B))∈((C^B)^A)^(C^(B×A))
○　Φ_3の属する集合、((C^B)^A)^(C^(A×B))を((C^B)^A)^(C^(B×A))
841：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:15: C)　濃度ℵฺo、ℵฺに関する演算
可算の濃度ℵฺo=a, 連続の濃度ℵฺ=cとしてそれらの演算を考える。

定理11　濃度a,cに関して次のことが成り立つ。
(3.16) n≦a⇒n+a=a　（特にa+a＝a)
(3.17) n≦c⇒n+c=c　（特にa+c=c+c=c）
(3.18) 1≦n≦a⇒na=a　(特にaa=a)
(3.19) 2≦n≦a⇒n^a＝c　（特に2^a=a^a=c)
(3.20) 1≦n≦c⇒nc=c　（特にac=cc=c)
(3.21) 2≦n≦c⇒2^c=n^c　（特に2^c=a^c=c^c)
842：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:18: 証明
(3.16)(3.18)の証明は>>775定理５でｶﾞｲｼｭﾂ
(3.17)の証明　実数の区間A=(-1,0),B=[0,1)をとればA∩B=φ、cardA=cardB=c
このとぃA∪B=(-1,1)だからcard(A∪B)＝c
ゆえにc+c=c
またc≦n+c≦c+c＝ｃだからｎ+c＝ｃ
843：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:19: (3.19)の証明　3段階に分けて証明する
[i] ２≦n≦aのとき２＾a≦n^a.　またn^a≦(2^n)^a≦2^(na)＝2^a.　よって2^a=n^a
[ii] 実数の区間J=(0,1)に属する任意の実数αは
（有限小数については末尾に0が無限個並ぶ記法で表すことにすれば）
α＝0.a_1a_2a_3...と一意に10進小数展開することができる。
a_i∈{0,1,...,9}だから(a_n)_{n∈N}∈{0,1,...,9}^Nと考えることができる。
しかもJの異なる現には異なる十進展開が対応するから即ち異なる(a_N)が対応することになる。
したがってf:J∋α→(a_n)∈{0,1,...,9}^Nは単射で、c=cardJ≦card{0,1,...,9}^N=10^a.
[iii] すべての項が1か2であるような数列(b_n)_{n∈N}∈{1,2}^Nに対して
十進小数0.a_1a_2a_3...はJの1つの元βを表し、
異なる(b_n)には異なるβが対応するからg:{1,2}^N∋(b_n)→β∈Jは単射
ゆえに2^a=card{1,2}^N≦cardJ=c

[i]～[iii]より2≦n≦a⇒n^a=c
844：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:24: （3.20）の証明　(3.19)よりc=2^aだからcc=2^a2^a=2^(a+a)=2^a=c
1≦n≦cならばc≦nc≦cc＝ｃよってｎｃ＝ｃ

(3.21)の証明　2≦n≦cなら2^c≦n^cは(3.11)から明らか
また(3.11)(3.15)(3.20)からn^c≦(2^n)^c＝2^nc＝2^c
ゆえに2^c=n^c