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「集合・位相入門」輪読会
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(3.13)(mn)^p=m^pn^p
(3.14)(p^m)^n=p^(mn)
(3.13):Φ_2∈(A^C×B^C)^((A×B)^C)をΦ_2(f)=(pr_Af,pr_Bf)と定義すると
任意のA^C×B^Cの元(g,h)に対してk∈(A×B)^Cをk(c)=(g(c),h(c))なる写像kが存在し,
Φ_2(k)=(g,h).よってΦ_2は全射.
Φ_2(u)=Φ_2(v)⇔(pr_Au,pr_Bu)=(pr_Av,pr_Bv)⇔u=vよりΦ_2は単射.
(3.14):Φ_3∈((C^B)^A)^(C^(A×B))を次のように定義する.
任意のC^(A×B)の元fに対してΦ_3(f)∈(C^B)^AをΦ_3(f)(a)=f(a,･).
ここで記号f(a,･)はC^Bの元でf(a,･)(b)=f(a,b)であるものとする.
このとき任意のg∈(C^B)^Aに対してh(a,b)=g(a)(b)でh∈C^(A×B)を定義すると
Φ_3(h)=g.よってΦ_3は全射.
Φ_3(u)=Φ_3(v)ならば任意の(a,b)∈A×Bに対してu(a,b)=v(a,b)なのでu=v.
よってΦ_3は単射.■
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