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「集合・位相入門」輪読会
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僕はベルンシュタインの比較定理のステートメントは(1.7)だと記憶してますた.
m≦nでm=nでないときm<nと書きmはnより小さいといいます.任意の有限の濃度は任意の無限の濃度
より小さいですね.(A={1,2,…,m}を有限集合,Bを無限集合とすると,Bは無限集合ですから異なる
(m+1)個の元からなるBの部分集合B_1をとって来れます.このときcardA≦cardB_1でB_1⊂Bだから
cardB_1≦cardB.(1.8)よりcardA≦cardBです.で,実はm=cardA<cardB_1=m+1ですからcardA<cardB
です).
えと,濃度の順序に関する考察で欠けている重大な問題があります.それは
「 m<n, m=n, n<m
の3つはどの二つも同時に成り立つことは無く,どれも成り立たないことはありえない」
が真か偽か？という問題です.この問題については次章をﾏﾃ.
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