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「集合・位相入門」輪読会
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証明 cardA=mである1つの集合Aをとれば、どのλ∈ΛについてもA〜A_λである
から、AからA_λへの全単射f_λがある。そこでA×ΛからB=∪[λ∈Λ]A_λへの写像fを
f(a,λ)=f_λ(a) (a∈A,λ∈Λ)
と定義すれば、fはA×ΛからBへの全単射となる。実際、A×Λの元(a,λ),(a',λ')に
対し、f(a,λ)=f(a',λ')すなわちf_λ(a)=f_λ'(a')とすれば、f_λ(a)∈A_λ,f_λ'(a')
∈A_λ'で、もしλ≠λ'ならばA_λ∩A_λ'=Φであるから、当然λ=λ'。またf_λは単射である
からa=a'。すなわちf(a,λ)=f(a',λ')ならば(a,λ)=(a',λ')。ゆえにfは単射である。
またbをBの任意の元とすれば、b∈A_λとなるようなλ∈Λが(ただ1つ)あり、f_λはAからA_λ
への全射であるから、b=f_λ(a)となるAの元aがある。すなわち、b=f(a,λ)となるような(a,λ)
∈A×Λが存在する。ゆえにfは全射である。したがって、cardB=card(A×Λ)=mn。(証明終)
定理9によって、特に
m+m=m2=2m,m+m+m=m3=3m,･･･
となる。
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