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「集合・位相入門」輪読会
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定理2の証明 fをAからBへの単射、gをBからAへの単射とする。
このとき、AからBへの全単射Fが存在することを示すのが、われわれの
目標である。もしfが全射ならば、f自身がAからBへの全単射であるから、
F=fとすればよい。そこで以下ではf(A)=V(f)はBには等しくないとし、
f(A)のBに対する補集合をB-f(A)=B_0とする。次に
g(B_0)=A_1,f(A_1)=B_1,...,g(B_(n-1))=A_n,f(A_n)=Bn,...
として、Aの部分集合族(A_n)_(n=1,2,3,...),Bの部分集合族(B_n)_(n=0,1,2,...)
を定め、
∪[n=1,∞]A_n=A_*,∪[n=0,∞]B_n=B_*
A-A_*=A^*,B-B_*=B^*
とおく。このとき、
(1.4) f(A^*)=B^*
(1.5) g(B_*)=A_*
であることが、次のように示される。
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