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「集合・位相入門」輪読会
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Ｂ）可算集合の性質
可算集合の性質に関する定理をば二つばかり。
定理５(１)A,Bがともに高々可算な集合であれば直積A×Bも高々可算な集合である.
cardA=アレフ0,B≠ΦならばA×Bは可算集合である.
(２)集合族(A_λ)_{λ∈Λ}(ただしΛ≠Φ)で,どのλに対してもA_λは高々可算,
Λも高々可算であるならば∪A_λも高々可算.
(高々可算な集合の高々可算個の和は高々可算)
cardA_λ=アレフ0なるλが存在すれば∪A_λは可算.
証明 (１)前半:A,Bがともに高々可算な集合であれば単射f∈N^Aと単射g∈N^Bが存在する.
φ∈N×N^(A×B)をφ((a,b))=(f(a),g(b))で定義すると
φ((a,b))=φ((c,d))⇔(f(a),g(b))=(f(c),g(d))⇔a=c∧b=dだからφは単射.
よってcard(A×B)≦card(N×N)=アレフ0(∵>>741).
後半:B≠Φよりb∈Bなるbが存在する.ψ∈A^(A×{b})を射影(cf.>>565)
とするとψは全射であるのでアレフ0=cardA≦card(A×{b})
A×{b}⊂A×Bだからcard(A×{b})≦card(A×B),前半からcard(A×B)≦アレフ0.
>>765(1.8),(1.7)からcard(A×B)=アレフ0.
(２)前半:(１)よりΛ×Nは可算.各λに対してA_λは高々可算であるから各λに対して
全射f_λ∈(A_λ)^Nがとれる.g∈(∪A_λ)^(Λ×N)をg((λ,n))=f_λ(n)とすれば
任意の∪A_λの元aに対してはa∈A_λとなるλが存在し,さらにこのλに対して
f_λ(n)=aなるnが存在するのでgは全射.よってcard(∪A_λ)≦card(Λ×N)=アレフ0.
後半:A_λ⊂∪A_λだからcard(A_λ)≦card(∪A_λ).前半の結果と>>765
(1.8),(1.7)からcard(∪A_λ)=アレフ0.■
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