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「集合・位相入門」輪読会
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Ｂ)濃度の冪
m,nがともに1以上の濃度であるとします.cardA=m,cardB=nなる集合A,Bがとれますが
このときA^Bの濃度を冪m^nと定義します.この定義がwell-definedであることを言うためには
A〜A',B〜B'ならA^B〜A'^B'がいえなきゃなんないけど,u∈A'^A,v∈B^B'なる全単射u,vをとっておいて
(A'^B')^(A^B)の元ΦをΦ(f)=ufvとおくと,任意のg∈A'^B'にたいしてu^{-1}gv^{-1}∈A^Bで
Φ(u^{-1}gv^{-1})=uu^{-1}gv^{-1}v=g.だからΦは全射,
Φ(k)=Φ(h)⇔ukv=uhv⇔u^{-1}ukvv^{-1}=u^{-1}uhvv^{-1}⇔k=hだからΦは単射だからおｋです.
m,nが自然数のときのm^nと濃度の冪としてのm^nが一致することは既に見ました.(>>471)
(3.10) n^1=n,1^m=1
証明:前半:cardA=nなる集合Aと集合{1}をとる.Φ∈(A^{1})^Aを各λ∈Aに対して
Φ(λ)=f_λ,f_λ(1)=λと定義するとすべてのA^{1}の元gに対してg(1)∈Aが存在して
Φ(g(1))=f_(g(1)).f_(g(1))(1)=g(1)だからf_(g(1))=g.よってΦは全射.
Φ(λ)=Φ(η)⇔f_λ=f_η⇔λ=ηよりΦは単射.よってA^{1}〜A.
後半:cardB=mなる集合Bと集合{1}をとる.h∈{1}^Bとすると,すべてのBの元bに対して
h(b)=1,これは{1}^Bの元ならどんなものにでもいえる性質であるので{1}^Bは値1をとる
定値写像のみからなる集合である.よって{1}^B〜{1}.■
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