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「集合・位相入門」輪読会
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m,nが自然数ならば、いま定義した積は通常の意味での自然数の積と一致
する。[第１章§3,A)]
また、次の性質も明らかである。
(3.5) mn=nm
これは、A×BからB×Aへの写像fをf(a,b)=(b,a) (a∈A,b∈B)とすればfは
明らかに全単射だからA×B〜B×Aとなることより明らか。
(3.6) (mn)p=m(np)
これは、(A×B)×C=A×(B×C)=A×B×Cより明らか。
(3.7) m･0=0,m･1=m
これは、A×Φ=Φ,A×{1}〜Aより明らか。
(3.8) m≦m',n≦n'⇒mn≦m'n'
これは、AからA'への単射f、BからB'への単射gが存在するとき、A×BからA'×B'
への写像hをh(a,b)=(f(a),g(b)) (a∈A,b∈B)とするとhは単射となることから
明らか。
(3.9) (m+n)p=mp+np
これは、A∩B=Φのとき、(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)かつ(A×C)∩(B×C)=Φより
明らか。
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