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「集合・位相入門」輪読会
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(3.19)の証明 3段階に分けて証明する
[i] ２≦n≦aのとき２＾a≦n^a. またn^a≦(2^n)^a≦2^(na)＝2^a. よって2^a=n^a
[ii] 実数の区間J=(0,1)に属する任意の実数αは
（有限小数については末尾に0が無限個並ぶ記法で表すことにすれば）
α＝0.a_1a_2a_3...と一意に10進小数展開することができる。
a_i∈{0,1,...,9}だから(a_n)_{n∈N}∈{0,1,...,9}^Nと考えることができる。
しかもJの異なる現には異なる十進展開が対応するから即ち異なる(a_N)が対応することになる。
したがってf:J∋α→(a_n)∈{0,1,...,9}^Nは単射で、c=cardJ≦card{0,1,...,9}^N=10^a.
[iii] すべての項が1か2であるような数列(b_n)_{n∈N}∈{1,2}^Nに対して
十進小数0.a_1a_2a_3...はJの1つの元βを表し、
異なる(b_n)には異なるβが対応するからg:{1,2}^N∋(b_n)→β∈Jは単射
ゆえに2^a=card{1,2}^N≦cardJ=c
[i]〜[iii]より2≦n≦a⇒n^a=c
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