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「集合・位相入門」輪読会
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Ｃ) 集合族とその和集合,共通部分
添数集合Λによって添数づけられた元の族(A_λ|λ∈Λ)の各A_λが集合であるようなものを
集合族といいます.集合の集合のことは§２で集合系と名づけたのですが,そして集合系と
集合族は同じようなものですが,このテキストでは用語を区別する方針だそうです.
集合族を考えるときには終集合は重視しません.すべての集合の集合を終集合にすればよさそうなものですが
このようなものを考えるとラッセルのパラドックスのような剣呑な事態が起こってしまうので
素朴集合論においては終集合を重視しないっ！と逃げてしまうのです.
ラッセルのパラドックス
すべての集合の集合を(ユニバースの頭文字をとって)Uとおきましょう.
Uはその定義からU∈Uという奇妙な性質を持っています.このUのように
自分自身を元に含む集合を第一種の集合と仮に名づけましょう.第一種の
集合でない集合を第二種の集合と名づけます.Aを第二種の集合全体の集合
としましょう.そうするとAは第一種か第二種のどちらの集合になるでしょうか.
Aが第一種の集合であるとするとA∈Aです.そうするとAは第二種の集合全体の集合
の元なわけですから第二種の集合となってしまい矛盾をおこします.したがって
Aは第二種の集合のはずです.しかしAが第二種の集合であるとするとAは自分自身を
元に含まない集合になりますので,A∈A^cです.このことはAが第二種の集合全体の集合
の元でないことを示していますので,Aは第一種の集合となってしまいます.
（・３・）アルェー.
集合族(A_λ|λ∈Λ)に対し各A_λが皆ある集合Xの部分集合であるとき,(A_λ|λ∈Λ)を
Xの部分集合族といいます.
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