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「集合・位相入門」輪読会
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定理７の証明 §1,A)の例5で示したように、実数の任意の開区間はRと
対等である。したがって、たとえば開区間J=(0,1)も連続の濃度アレフをもつ。
アレフ0≦アレフであることは明らかであるから、(2.1)を示すには、アレフ0≠アレフ
であること、すなわちNとJが対等でないことをいえばよい。それには、NからJ
への任意の写像がけっして全射とはなりえないことを証明すれば十分である。
Jの任意の元(すなわち、0より大きく1より小さい任意の実数)は、十進法の
無限小数として
(*) 0.a_1a_2･･･a_n･･･ (a_iは0から9までの整数)
の形に表される。ただし、たとえば0.25000･･･=0.24999･･･のように2通りの
表し方があるもの(いわゆる"有限小数")については、記法に一意性をもたらす
ために、いつも前者の記法を採用することとする。逆に、(*)の形の無限小数
で、a_n≠0となるnが少なくとも1つ存在し、また9が無限に続くことはないような
ものは、それぞれ1つのJの元を表し、かつそのような2つの無限小数0.a_1a_2･･･a_n･･･,
0.b_1b_2･･･b_n･･･がJの同じ元を表すのは、明らかに、すべてのnに対してa_n=b_nである
ときに限る。
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