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「集合・位相入門」輪読会
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例３ 直積N×NはNと対等である:N×N〜N。これを示すには、たとえば、
次のように定義されたN×NからNへの写像fを考えればよい:
N×Nの任意の元(i,j)に対して
f(i,j)=2^(i-1)*(2j-1)
このfがN×NからNへの全単射であることは、次のように示される。Nの
任意の元nはn=2^p*q(pは負でない整数、qは正の奇数)の形に一意的に
表され、また、負でない整数p、正の奇数qは、それぞれ一意的に、p=i-1,
i∈N;q=2j-1,j∈Nと表される。よって、任意のn∈Nに対し、n=2^(i-1)*(2j-1)
となるような(i,j)∈N×Nがただ1つだけ存在する。ゆえにfは全単射である。
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