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「集合・位相入門」輪読会
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Xを1つの集合（普遍集合）、Aをその任意の部分集合とするとき、
χ_A(x)＝1 (when x∈A)
＝0 (when x∈A^c)
によって定められる X から {0, 1} への写像 χ_A を、
（Xにおける）Aの”特徴関数”または”定義関数”と言います。
（特に、すべての x∈X に対して χ_X(x)＝1, χ_φ(x)＝0.）
A, A'∈P(X) （注；Pはドイツ文字） に対して、χ_A＝χ_A' ⇒ A＝A' であるから、A≠A' ⇒ χ_A≠χ_A'。
逆に X から {0, 1} への任意の写像fが与えられたとき、
Xの部分集合 {x| f(x)＝1}＝f^(-1)(1) を A とおけば、明らかに、χ_A＝f。
以上により、Xの1つの部分集合を定めることは、
Xから {0, 1} への1つの写像を定めることと内容的に異ならないことがわかります。
詳しく言えば各々の A∈P(X) に χ_A∈{0, 1}^X を対応させる写像をΦとすれば、
Φは P(X) から {0, 1}^X への全単射となります。
このことを根拠として、F(X) はしばしば 2^X という記号でも表されます。(cf. >>126)
# これで§4は一通り終わったかな。ふぅ〜。
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