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「集合・位相入門」輪読会
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定理６ 集合Aを無限集合,集合Bを高々可算な集合であるとする.このときA-Bが無限集合ならば
A-B〜A
証明 A-Bは無限集合だから>>769よりC⊂A-B,cardC=アレフ0なる集合Cが存在する.
AはA-B-CとB∪Cの直和,A-BはA-B-CとCの直和であり定理５(２)(>>775)より
card(B∪C)=cardC=アレフ0.よって全単射f∈C^(B∪C)がとれる.g∈(A-B)^A
をg|(A-B-C)=I_(A-B-C),g|(B∪C)=fとすればgは全単射である.■
系１ 集合Aを無限集合,集合Bを高々可算な集合であるとする.このときA〜A∪B.
証明 A∪Bは無限集合,B-(A∩B)はB-(A∩B)⊂Bだから高々可算集合,
B-(A∩B)⊂B⊂A∪BでA=(A∪B)-(B-(A∩B))は無限集合だからA〜A∪B.■
定理６はBが有限集合のときも成り立つから例えばAが無限集合でa∈AならA-{a}〜Aです.このことから
次の系２が成り立ちます.
系２ 任意の無限集合は自身と対等な真部分集合を持つ.
系２の逆「任意の有限集合は自身と対等な真部分集合を持たない」も真ですので
(∵>>509))系２はその逆命題も成立します.
即ち「自身と対等な真部分集合を持つ集合」を無限集合の定義にしてもかまわないことになります.
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