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「集合・位相入門」輪読会
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注意 実は、任意の閉区間[a,b]もRと(したがってまた、任意の開区間とby(1.3)＆例５)
対等であるが、このことを、[a,b]からRへの全単射を"具体的に"つくることによって
直接に示すのは、必ずしも容易ではない。たとえば、われわれが普通に考える
"連続関数"の範囲では、このような全単射をつくることは不可能である。実際、
微積分学で知られている"中間値の定理"および"最大最小値の定理"によれば、
任意の閉区間[a,b]上で定義された実連続関数fの値域はまた1つの閉区間[α,β]と
なり･･･(*)、R全体とはならないからである。このように、"具体的な"全単射をみいだす
ことが簡単でない場合には、次項の定理２などが有効に用いられる。
(*)は高校数学の範囲で示せますか？直観的にわかるような気はしますが、証明はわかりません。
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