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「集合・位相入門」輪読会
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さて、fは単射で、(1.4)が成り立つから、fの定義域をA^*に縮小し、かつ
終集合をB^*に変えた写像をF^*とすれば、
F^*:A^*→B^*
は全単射である。同様に、gが単射で、(1.5)が成り立つから、gの定義域を
B_*に縮小し、かつ終集合をA_*に変えた写像をG_*とすれば、G_*:B_*→A_*
も全単射である。この逆写像であるA_*からB_*への全単射を
F_*:A_*→B_*
とする。そこで、AからBへの写像Fを
F(a)=F^*(a) (a∈A^*のとき)
=F_*(a) (a∈A_*のとき)
によって定義すれば、F:A→Bは明らかに全単射となる。(証明終)
上の証明でA^*やB^*はΦとなることもあり得るが、その場合はF=F_*とすればよい。
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