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「集合・位相入門」輪読会
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定理4 任意の無限集合は、必ず可算集合を部分集合として含む。
証明 Mを1つの与えられた無限集合とする。Mからまず任意に1つの元
をとって、それをa_1と名づける。次に、M-{a_1}からまた任意に1つの元
をとって、それをa_2と名づける。一般に、a_1からa_nまでがすでに選ばれた
とき、Mは無限に多くの元を含むから、当然M≠{a_1,a_2,･･･,a_n}、したがって
M-{a_1,a_2,･･･,a_n}≠Φである。そこで、M-{a_1,a_2,･･･,a_n}からさらに任意
に1つの元をとって、それをa_(n+1)と名づける。このようにして、Nの全ての元
1,2,…,n,…に対して、Mから元a_1,a_2,･･･,a_n,･･･を取り出せば、{a_1,a_2,
･･･,a_n,･･･}はMの可算な部分集合となる。
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