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「集合・位相入門」輪読会
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まず、fは単射であるから、第1章§4,問題5(c)によって(+第1章§2,問題5(a))
f(A^*)=f(A)-f(A_*)=(B-B_0)-f(A_*)=B-(B_0∪f(A_*))
ここで、第1章(5.3)により
f(A_*)=f(∪[n=1,∞]A_n)=∪[n=1,∞]f(A_n)=∪[n=1,∞]B_n
したがってB_0∪f(A_*)=∪[n=0,∞]B_n=B_*,ゆえに
f(A_*)=B-B_*=B^*
すなわち(1.4)が成り立つ。また、第1章(5.3)によって
g(B_*)=g(∪[n=0,∞]B_n)=g(∪[n=1,∞]B_(n-1))=∪[n=1,∞]g(B_(n-1))
=∪[n=1,∞]A_n=A_*
すなわち(1.5)が成り立つ。
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