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「集合・位相入門」輪読会
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A) 集合の対等
集合Aから集合Bへの全単射が(少なくとも1つ)存在するとき、BはA
に対等(equipotent)であるという。このことを以後A〜Bと書く。
定理1 集合の対等について、次のことが成り立つ。
(1.1) A〜A
(1.2) A〜B⇒B〜A
(1.3) A〜B,B〜C⇒A〜C
証明 Aの上の恒等写像I_AはAからAへの全単射である。よって(1.1)
が成り立つ。また、AからBへの全単射fが存在すれば、第1章定理4によ
って、その逆写像f^(-1)はBからAへの全単射となる。ゆえに(1.2)が成り
立つ。最後に、AからBへの全単射f,BからCへの全単射ｇが存在すれば、
第1章定理5によって、それらの合成写像gfはAからCへの全単射となる。
したがって(1.3)も成り立つ。(証明終)
(1.2)によって、A〜Bであることを"AとBとは(互いに)対等である"のよう
にいい表すこともできる。
なお、空集合Φは、ただそれ自身のみと対等であるとする。
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