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「集合・位相入門」輪読会
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C) 連続の濃度,非可算集合
定理５の系でみたように、ZやQは可算集合である。しかし、無限集合の
うちには、可算でないものも存在する。(いいかえれば、cardNよりも大きい
無限の濃度が存在する。)実際、実数全体の集合Rは可算集合でないことが示さ
れるのである。すなわち、次の定理が成り立つ。
定理７ 連続の濃度アレフは可算の濃度アレフ0より大きい:
(2.1) アレフ0<アレフ
この定理は、"実数の連続性"とよばれるRの基本的性質にもとづいて、いろ
いろの方法で証明される。しかし、この性質を数学的に整理された形に述べ
ることは後にゆずり[第3章§1,C)の例2参照]、ここでは、実数が十進法による
無限小数として表されるという周知の事実ーこのことも、実は"実数の連続性"
から導かれるのであるがーを用いて、この定理を証明することとする。(これは、
Cantorによる古典的な証明である。)
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