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「集合・位相入門」輪読会
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上の和の定義において、m,nが自然数(有限の濃度)m,nである場合には、m+n
は通常の意味での自然数の和と一致することは明らかである。
また、次のような性質も明らかであろう。
(3.1) m+n=n+m
これは、A∪B=B∪A,A∩B=Φ⇔B∩A=Φより明らか。
(3.2) (m+n)+p=m+(n+p)
これは、(A∪B)∪C=A∪(B∪C)だから、A∩B=Φ,B∩C=ΦとなるA,B,Cがとれる
ことを示せばよい(このとき、(A∪B)∩C=A∩(B∪C)=Φ)が、>>797のようにA'={0}×A,
B'={1}×B,C'={2}×Cなどとして示せばよい。
(3.3) m+0=m
これは、A∪Φ=Aより明らか。
(3.4) m≦m',n≦n'⇒m+n≦m'+n'
これは、AからA'への単射f,BからB'への単射gが存在するとき、x∈Aに対してφ(x)=f(x)
x∈Bに対してφ(x)=g(x)と定義すれば、φはA∪BからA'∪B'への単射となることから示される。
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