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「集合・位相入門」輪読会
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fが全射ではないこと、すなわち、fの値域V(f)={f(1),f(2),･･･,f(n),･･･}
がJ全体とは成りえないことの証明である。V(f)の各元を、(上の約束に従って)
無限小数で表したものをそれぞれ
f(1)=0.a_1^(1)a_2^(1)･･･a_n^(1)･･･
f(2)=0.a_1^(2)a_2^(2)･･･a_n^(2)･･･
(**) ･･･････････････････････････････
f(n)=0.a_1^(n)a_2^(n)･･･a_n^(n)･･･
･･･････････････････････････････
とする。そこで、各n∈Nに対して、b_nを
b_n= 1(a_n(n)が偶数のとき)
2(a_n(n)が奇数のとき)
によって定め、
β=0.b_1b_2･･･b_n･･･
とおく。そうすれば、もちろんβも0より大きく1より小さい実数、すなわち
Jの元であるが、どの自然数nに対しても、b_nの定め方によって、βの小数第n位
b_nとf(n)の小数第n位a_n^(n)とは相異なる。したがって、どのn∈Nに対しても
βはf(n)と等しくない。ゆえにβ∈{V(f)}^c。これでV(f)はJ全体とは一致しないことが
示された。(証明終)
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