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「集合・位相入門」輪読会
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以上の考察により(iii)を二つの濃度の大小の定義とすればよいでしょう.この定義と>>573から
m≦nであることはBからAへの全射が存在することと同値ですね.またm≦nを有限の濃度の大小
とみると自然数の大小としてのm≦nと同値ですが,次の定理３は濃度の大小がこの有限集合の
個数の大小を拡張したものであることを保障するものです.
定理３ m,n,pを濃度とするとき次のことが成り立つ.
(1.6) m≦m
(1.7) m≦n,n≦m⇒m=n
(1.8) m≦n,n≦p⇒m≦p
証明 m=cardA,n=cardB,p=cardCとする.
(1.6) A〜AだからAからAへの全単射が存在するが,この全単射は勿論単射でもある.
(1.7) ｶﾞｲｼｭﾂ(>>748->>753)
(1.8) AからBへの単射fとBからCへの単射gが存在するが,h=g|f(B)とすればhfはAからC
への単射である.■
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