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「集合・位相入門」輪読会
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例４ 実数の任意の2つの閉区間[a,b],[c,d]は互いに対等である。任意の
2つの開区間(a,b),(c,d)も対等である。実際、[a,b]から[c,d]への写像fを
f(x)=(d-c)/(b-a)(x-a)+c
によって定義すれば、明らかにfは[a,b]から[c,d]への全単射となる。また、
この写像の定義域を(a,b)に縮小し、終集合を(c,d)に変えれば、(a,b)から
(c,d)への全単射が得られる。
例５ 実数の任意の開区間は実数全体の集合Rと対等である。たとえば、
開区間(-1,1)で定義された関数
f(x)=x/(1-x^2)
を考えれば、fがこの開区間からRへの全単射であることは容易に示される。
(f(x)=tan(π/2)xもおｋ？)よって、(-1,1)〜R。例４によって開区間はすべて互いに対等
であるから、結局、どの開区間もR全体と対等となる。
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