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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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>>841-845
乙であります
ついに第3章突入ですが§１の担当どうしましょう？
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>>853
A）B）で一人、C)で一人、D)E)で一人っていう感じですが。
皆さんでお決めくだされば私は残り物を担当します。
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ではＣ）で
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漏れＤとＥやっていい？
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ではのこりA）,B)を僕が。
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第３章 順序集合, Ｚｏｒｎの補題
§１ 順序集合
Ａ） 順序関係
集合Aにおける関係Oが次の(1),(2),(3)をみたすとき,OをAにおける順序関係
または単に順序(order)といいます.
(1.1) ∀a∈A, aOa.
(1.2) ∀(a,b)∈A×A, aOb∧bOa⇒a=b.
(1.3) ∀(a,b,c)∈A×A×A, aOb∧bOc⇒aOc.
(1.1),(1.2),(1.3)をそれぞれ反射律,反対称律,推移律といいます.
Oは反射的かつ反対称的かつ推移的ともいいます.
(1.1),(1.2),(1.3)を全部合わせたものを順序の公理といいます.
例１. N,Z,Q,Rにおける大小関係≦は順序である.実際,≦は,
a∈N(resp.Z,Q,and R)に対してa=aだからa≦aであり反射的,
(a,b)∈N×N(resp.Z×Z,Q×Q,and R×R)に対してa≦bかつb≦aならば
(a<bまたはa=b)かつ(b<aまたはb=a)だから(a<bかつb<a)またはa=b,
即ちa=bであり反対称的,
(a,b,c)∈N×N×N(resp.Z×Z×Z,Q×Q×Q,and R×R×R)に対して
a≦bかつb≦cならば(a<bまたはa=b)かつ(b<cまたはb=c)だから
a<cまたはa=cまたはa<cまたはa=c即ちa≦cであり推移的である.
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例２. 自然数bが自然数aで割り切れることをa|bと書くことにすると,
|はNにおける順序である.実際,|は,
a∈Nに対してa=a･1だからa|aであり反射的,
(a,b)∈N×Nに対してa|bかつb|aならば∃p∈N;b=paかつ∃q∈N;a=qb
だからb=pqbとなりp=q=1.すなわちa=bであり反対称的,
(a,b,c)∈N×N×Nに対してa|bかつb|cならば∃p∈N;b=paかつ
∃q∈N;c=qbだからc=qpaかつqp∈Nなのでa|cであり推移的である.
例３. 任意の集合系Ｍにおける包含関係⊂は順序である.実際,⊂は,
A∈Ｍに対してA=AだからA⊂Aであり反射的,
(A,B)∈Ｍ×Ｍに対してA⊂BかつB⊂Aであるならば集合の相等の定義
よりA=Bであり反対称的,
(A,B,C)∈Ｍ×Ｍ×Ｍに対してA⊂BかつB⊂Cであるとすると,
任意のAの元xはA⊂BによりBの元であり,任意のBの元はB⊂Cにより
Cの元であるのでx∈C,即ちA⊂Cであり推移的.
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一般に順序は≦で書き表す習慣がありますので,
本スレッドでもこれに従いましょう.つまり記号≦を数の大小関係のみならず,
一般的な議論をするときの順序にも流用するわけです.
さらに大小関係にまつわるさまざまな用語も流用することにしましょう.
即ち,「以上」「以下」「越えない」などの用語を一般的な順序においても
使いたいのです.(必ずしも数の大小を意味しない)≦を(必ずしも数の集合でない)
集合Aの順序とし,(a,b)∈A×Aとしたとき
a≦b
であることを「aはb以下である」「bはa以上である」「bはaを超えない」と
読むことを許してもらいたいのです.言葉遣いの便宜上.
さらに,a≦bかつa≠bであることをa<bとかきこれも大小の用語を流用して
「aはbより小さい」「bはaより大きい」「aはbより前にある」「bはaより後にある」
などという言葉遣いをさせてください.
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≦が集合Aの順序関係であるとき次の(1.4),(1.5)が成り立ちます.
(1.4) a<b⇒¬(b<a).
(1.5) a<b∧b<c⇒a<c.
証明:(1.4) ¬(a<b⇒¬(b<a))⇔¬(¬(a<b)∨¬(b<a))⇔a<b∧b<a
⇔a≦b∧a≠b∧b≦a∧b≠a⇔a=b∧a≠bは偽である.■
(1.5) a<b∧b<cとするとa≦b∧b≦cだからa≦c,ここでa=cであるとすると
(1.1)よりc≦c,c=aよりc≦a.よってa≦bと合わせてc≦b,b≦cなので
(1.2)よりb=cこれは矛盾.■
∀(a,b)∈A×A,a≦b∨b≦a
であるときaとbは比較可能であるといいます.Aのどの2元も必ず順序≦で
比較可能であるとき≦は全順序とか線形順序とかいいます.
N(Z,Q,R)における≦は全順序です.
Nにおける|は2と3が比較可能でないので全順序じゃありません.
{Φ,{1},{2},{1,2}}における⊂は{1}と{2}が比較可能でないので全順序
じゃありません.
全順序じゃない順序を半順序ということがあります.古い言い方だけど.
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Ｂ）順序集合,部分順序集合
集合Aに順序≦が定められたとき,Aと≦とをセットにした概念(A,≦)を
順序集合といいます.集合Aに順序≦という構造が入ったものを順序集合
(A,≦)というわけです.もちろんAに≦_1,≦_2という別の順序が入りうるとき
(A,≦_1)と(A,≦_2)は違う順序集合であると考えねばなりません.
順序集合(A,≦)に対してAをその台集合,とか台と呼びます.
順序集合(A,≦)において≦が全順序なら(A,≦)を全順序集合とか線形順序集合
といいます.
順序集合(A,≦)において≦が分かりきってるときは省略して順序集合Aといったりもします.
とくに(N,≦),(Z,≦),(Q,≦),(R,≦)などは特に断らない≦は限り通常の大小を意味するものと
しますので順序集合Nなどという言い方をしたときは断らない限りNに入っている順序は
通常の大小だと思ってください.|などを順序とするときは断りを入れます.
集合系Ｍに入る順序も特に断らない限り⊂であるとします.
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順序集合(A,≦)の台の元や部分集合を,そのまま順序集合の元,部分集合と呼びまます.
Mが順序集合(A,≦)の部分集合であるとします.Mに順序≦_Mを
(a,b)∈M×Mに対し
a≦_Mb⇔a≦b
で定義します.
このとき順序集合(M,≦_M)は順序集合(A,≦)の部分順序集合であるといいます.
≦_Mは≦をMに制限したものだから通常単に≦で表します.このように順序集合の
部分集合には自然に順序が入り,その部分集合自身も順序集合であると考えること
が多いのです.
順序集合(A,≦)が全順序集合であるとするとその部分順序集合も全順序集合と
なりますが,(A,≦)が全順序集合でない順序集合であるときでもその適当な
部分順序集合が全順序集合となることはあり得ます.たとえば
a∈Aなら{a}はいつでも全順序部分集合です.
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遅らせてしまってすいません
先に進めてもらってもかまいません
復帰はもう少し先になりそうなので・・・
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>>864
んじゃＣも漏れがまとめてやっていい？
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>>865
よろしければ是非お願いします
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遅くなってすまん
しばらくＰＣ立ち上げてなかったので
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C) 最大（小）元、極大（小）元、上限、下限
(A, ≦)を1つの順序集合とし、以下略して単にAと書く。
∃a∈A, ∀x∈A, x≦aが成り立つときaをAの最大元といいmaxAで表す。
同様に∃b∈A, ∀x∈A, x≧bが成り立つときbをAの最小元といいminAで表す。
maxAやminAはいつも存在するとは限らないが存在するならばいずれも一意的に定まる。
（a,a'がともにAの最大元であるとすれば定義よりa'≦aかつa≦a'。ゆえにa=a'//）
またa∈Aについてa<xなるx∈Aが存在しないときAを極大元と言う。
同様にb∈Aについてb>xなるx∈Aが存在しないときAを極小元と言う。
Aの極大元、極小元も一般に存在するとは限らない。
もしmaxAが存在すれば、明らかにそれはAの唯一の極大元。
同様にminAが存在すれば、それはAの唯一の極小元。
maxAやminAが存在しなくてもAの極大元や極小元が存在することがある。
また極大元や極小元は複数存在することもある。
Aが全順序集合である場合にはAの最大元と極大元、最小元と極小元はそれぞれ一致する。
証明 全順序ならばすべての元が大小比較可能だから
aがAの極大元⇔a<xなるx∈Aが存在しない⇔∀x∈A, a≧x⇔a＝maxA。極小元についても同様
例1 A＝N＼{1}を台とし整除関係｜を順序とする順序集合（Ａ，｜）を考える。
この中に2以上のすべての整数を割り切る元はないから明らかにminAは存在しない
最大元や極小元も明らかに存在しない。極小元は無数に存在し、それらはすべての素数をわたる。
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次にＭをＡの1つの空でない部分集合とする。
a∈Aについて∀x∈M, x≦aが成り立つとき、aをMのAにおける上界という。
aがMの上界ならばそれ以上のAの元はすべてMの上界である
Ｍの上界が少なくとも１つ存在するとき、ＭはＡにおいて上に有界であると言う。
下界、下に有界も同様に定義される。
Ｍが上にも下にも有界であるときＭは単に有界であるという。
ＭのＡにおける上界全部の集合、下界全部の集合をそれぞれM^*、M_*で表す。
定義より、Mが上に有界⇔M^*≠φ、Ｍが下に有界⇔Ｍ_*≠φ.
Mが上に有界でminM^*が存在するとき、それをMのAにおける最小上界または上限といい、supMで表す。
Mが上に有界であっても必ずしもsupMが存在するとは限らない。(後述）
supＭが存在する場合、Ｍによって一意的に定まる。定義から明らかに
a＝supM ⇔ (i) a∈M^*、(ii) a=minM^* ⇔ (i) ∀x∈M, x≦a、(ii) ∀x∈M, x≦a' ⇒ a≦a'.
上に有界であるようなAの空でない部分集合Mについて、次の３つの場合が考えられる。
(a) maxMが存在する。このときsupMも存在してmaxM＝supM
(b) maxMは存在しないがsupMは存在する。このときsupM∈M^c
（この書き方は若干苦しいがweb上なので止むを得ない。要はsupMはMの元ではないということ）
(c) supMが存在しない。このときmaxＭも存在しない。
上と同様にＭが下に有界でmaxM_*が存在するときそれをＭのＡにおける最大下界または下限といい、infMで表す。
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例2 順序集合Ｑを全体集合とし、その部分集合Ｍ＝｛|x∈Ｑ，0<x、x^2<2｝を考える。もちろんＭ≠φで上に有界。
しかしMの中にsupMは存在しない。実際a=supMが存在したとするとa∈Qよりa^2≠2だから2<a^2 or a^2<2.
ここでa'=(3a+4)/(2a+3)とおけばa'も正の有理数で、2<a^2⇒2<a'^2<a^2, 2>a^2⇒2>a'^2>a^2でいずれにしても矛盾。
・・らしいのだがここが理解できない、。だれか代わりに解説してくれ
しかし今のMを順序集合Ｒの部分集合と考えた場合にはＭは上限を持ち、supM＝√2。
Rにおいては任意の空でない上に有界な部分集合が必ず上限を持つ。（実数の連続性）
例3 Ｍを任意の集合系とする。（φ≠）Ｎ⊂Ｍについて集合系Ｎの和集合∪Ｎ＝∪｛A|A∈N｝がＭの元であれば
それは順序集合ＭにおけるＮの上限となる。即ちsupＮ＝∪Ｎ．このことは第1章(2.17)(2.18)よりわかる。
（平たく言えば、Ｎに属するすべての集合を包む最も小さな集合が∪Ｎであるということ。）
上の例2でも見たように一般にが順序集合でＭ⊂Ａ_1⊂Aであるとき、MがA_1の中に上限をもたなくても
Aの中で持つことがある。その逆の場合もある。さらにMがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合もある。
こうした事態にまぎれがないように対処するために、必要があればsup_{A_1}M、sup_{A}Mと書いて区別する。infも同様。
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例2が理解できなかったのでここでいったんストップして反応待ち
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>>871
a=supMがあったとするとa∈Qよりa^2≠2,
よってa^2<2か2<a^2.
a^2<2ならa∈Mなのでa=maxM.
よって∀x∈M,x≦a.
a-(3a+4)/(2a+3)=(2a^2-4)/(2a+3)=2(a^2-2)/(2a+3)<0より
a<(3a+4)/(2a+3)∈Qだから(3a+4)/(2a+3)∈Mで不合理.
2<a^2なら¬(a∈M)なのでa=minM*.
よって∀x∈M,x≦a.
また∀x∈M,x≦b⇒a≦b.
このときは(3a+4)/(2a+3)<a,
また2-(3a+4)^2/(2a+3)^2=(-a^2+2)/(2a+3)^2<0より
2<((3a+4)/(2a+3))^2で不合理.
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理解しますた
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D) 順序同型（じゅんじょどうけい）
（A,≦）（A',≦）を２つの順序集合とする。ｆがAからA'への写像で、Aの任意の元ａ,ｂについて
（１．６） ａ≦ｂ⇒ｆ（ａ）≦'f(b)
が成り立つとき，ｆを（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への（あるいは略してＡからＡ’への）順序写像または単調写像という。
ｆが順序写像でかつ（１，６）の逆
（１．７） ｆ（ａ）≦'f(b)⇒ａ≦ｂ
が成り立つ場合は、ｆは単射となる。（∵f(a)＝f(b)⇒a≦ｂ＆ｂ≧ａ⇒ａ＝ｂ）
そこで（１．６）（１．７）をともに満たす写像はＡからＡ’への順序単射と呼ばれる。
ただしfが順序単射であることとfが順序写像でかつ単射であることは同値ではない。
ｆが順序単射でかつAからA'への全射である場合は、ｆをAからA'への順序同型写像という。
このときｆは全単射で、ｆ＾-１も明らかにA'からAへの順序同型写像。
順序集合（A,≦）から(A'，≦'）への順序同型写像が少なくとも１つ存在するとき両者は順序同型であるという。
このことを書では（A,≦）⋍ฺ（A'，≦'）、または単にA⋍ฺA'と書く＜この記号のコードは＆＃8909；＆＃3642；＞
順序集合の間の順序同型については次が成り立つ
(1.8) A⋍ฺA
(1.9) A⋍ฺA'⇒A'⋍ฺA
（1.10） A⋍ฺA', A'⋍ฺA''⇒A⋍ฺA''
証明 (1.8)はAからAへの恒等写像がＡからＡへの順序同型写像だからOK
（1.9）はAからA'への順序同型写像ｆが存在するならば、逆写像f^(-1)がA'からＡへの順序同型写像だからOK.
(1.10)はAからA'への順序同型写像ｆとA’からA''への順序同型写像ｆ’についてその積ｆ’ｆがAからA''への順序同型写像でＯＫ
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（Ａ、≦）⋍ฺ（Ａ’，≦’）であるときＡからＡ’への順序同型写像の1つをｆとすれば
順序に関する諸関係で（Ａ，≦）の上で成り立つことはｆによってそのまま（Ａ’，≦’）に写され
逆に（Ａ’，≦’）の上で成り立つことはf^-1によってそのまま（Ａ，≦）にうつされる
したがって順序同型な（Ａ，≦）、（Ａ’，≦’）は順序集合として全く同じ構造を持つ。
Ａ⋍ฺＡ’⇒Ａ〜Ａ’だがその逆は真ではない。
たとえばＮ，Ｚ，Ｑは互いに対等であるが順序同型ではない。
証明 Ｎ⋍ฺＺだと仮定するとminN=1よりminZが存在することになり矛盾。
ゆえにN⋍ฺZは成り立たない
同様にN⋍ฺQも成り立たない。
Z⋍ฺQだと仮定し、その順序同型写像fとz∈Zについてf(z)=p∈Q, f(z+1)=q∈Qとすれば
r=(p+q)/2∈Qについてz＜f^(-1)(r)(∈Z)＜z+1となり矛盾
ゆえにZ⋍ฺQも成り立たない。
またfが（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射であるとき
その終集合をｆ（Ａ）＝A_1'に変えた写像は明らかに（Ａ，≦）から（Ａ_１’，≦’）への順序同型写像。
逆にf'が（Ａ，≦）から（Ａ_1’，≦’）への順序同型写像ならばその州集合をＡ’に変えた写像は
（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射。
すなわち（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射が存在する⇔（Ａ，≦）が（Ａ’，≦’）のある部分順序集合と順序同型。
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E) 相対概念、相対の原理
順序集合（Ａ，≦）、a,b∈Ａに対して
b≦a ⇔ a≦^(-1)b によって関係≦^(-1)を定義すれば明らかにそれもＡにおける1つの順序。
これを≦の相対順序といい、また（Ａ，≦＾(-1)）を（Ａ，≦）の相対順序集合という
相対順序を考えるとき互いに入れ換わる概念を順序についての相対概念と言う。
「以上と以下」「大きいと小さい」「最大元と最小元」「上限と下限」などはそれぞれ互いに相対概念。
自己相対的の話はよくわからないので割愛する
順序集合に関する命題に対し、その命題の中に現れる順序に関する概念を
それぞれその相対概念でおきかえて得られる命題をはじめの命題の相対命題という。
ある順序集合についてある命題が成り立つならば、その相対順序集合について前の命題の相対命題が成り立つ。
↑証明しようと思うとかなり難しいと思うんだが。
このことから次が導かれる：
”一般に順序に関するある条件Ｃを満たすような任意の順序集合について成り立つ1つの命題があるならば,
その相対命題は, Ｃの中に含まれている諸概念を、それぞれその相対概念でおきかえて得られる条件C’を満たすような任意の順序集合について成り立つ。”
この事実を順序集合における相対の原理と呼ぶ。
↑原理ってことは証明はできないのか？
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反応なし？
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あれ？
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>>877
偽者？
いずれにせよ反応遅れてすいませんでした。
収集家氏乙です。
すいませんが質問です。
>>874の
＞ただしfが順序単射であることとfが順序写像でかつ単射であることは同値ではない。
これの反例を挙げていただけませんか？
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すんませんちょっと日本語おかしいですね
これの反例を挙げていただけませんか？
↓
これを示していただけませんか？
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test
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８７７は本物。トリップの出し方間違えた。
８７４の例。
ｆ：（｛１，２，３｝、｜）→（｛1，2，3｝、≦）をｆ(1)＝1，ｆ(2)＝3，ｆ(3)＝2で定める。
ただし｜は自然数の整除関係、≦は通常の大小関係。
このときｆは順序写像でかつ単射だが、順序単射ではない。
ところで８７６の疑問を解決してくれる人はいませんか。
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>>882
なるほど。ありが㌧。
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>>868
最大元、最小元がともに存在しない例は
(Z,≦)ですね.
>>869
supMが存在するなら一意であるってのはなんで？
>上に有界であるようなAの空でない部分集合Mについて、次の３つの場合が考えられる。
>(a) maxMが存在する。このときsupMも存在してmaxM＝supM
>(b) maxMは存在しないがsupMは存在する。このときsupM∈M^c
>（この書き方は若干苦しいがweb上なので止むを得ない。要はsupMはMの元ではないとい>>うこと）
>(c) supMが存在しない。このときmaxＭも存在しない
(a),(b),(c)それぞれ例を挙げてください。理由も書いてください。
>>870
>順序集合でＭ⊂Ａ_1⊂Aであるとき、MがA_1の中に上限をもたなくても
>Aの中で持つことがある。その逆の場合もある。さらにMがA_1、Aの中にそれぞれ異なる>>上限を持つ場合もある。
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"逆の場合"と"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"の例を挙げてください。
>>875
納得です。
>>876
>順序集合に関する命題に対し、その命題の中に現れる順序に関する概念を
>それぞれその相対概念でおきかえて得られる命題をはじめの命題の相対命題という。
>ある順序集合についてある命題が成り立つならば、その相対順序集合について前の命題>>の相対命題が成り立つ。
(A,O_1)を順序集合、O_2をO_1の双対順序とする。
(x,y)∈A^2としx,y,O_1に関する命題をp(x,y;O_1)とするとp(x,y;O_1)の双対命題は
p(y,x;O_2)だがxO_1y⇔yO_2xなのでp(x,y;O_1)⇔p(y,x;O_2).
p(x,y;O_1)は「xとyが順序O_1についてムニャムニャである」みたいな文だから
その双対命題は「yとxが順序O_2についてムニャムニャである」即ちp(y,x;O_2)ですよね.
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ヘンなところでレスを区切ってしまった。スマソ。
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§２ 整列集合とその比較定理
A) 整列集合
自然数全体の集合Nは大小の順序≦について全順序集合をなすが、さらに
この順序集合は次の定理に述べる重要な性質を有する。
定理1 Nの任意の空でない部分集合は最小元をもつ。
証明 この定理は数学的帰納法によって次のように証明される。
MをNの空でない部分集合とする。M≠Φであるから、Mは少なくとも1つ
の自然数を含む。もし1∈Mならば、もちろん1=minMである。そこで、
Mがn以下のある自然数を含むような場合には、この定理が成り立つものと
して、n+1∈Mの場合にもこの定理が成り立つことを証明する。この場合、
もしMがn以下のある自然数をも含むならば、帰納法の仮定によってMは
最小元をもつ。またMがn以下のどの自然数も含まないならば、当然n+1=minM
となる。(証明終)
一般に、Wが全順序集合で、その空でない任意の部分集合がいつも最小元
をもつとき、Wを整列集合(well-ordered set)という。Nは最も典型的な
整列集合である。また、有限の全順序集合は明らかに整列集合である。
本節以後、順序集合を略式にその台集合と同一の記号で表し、特に必要の
ある場合のほかは、順序の記号を付記しない。
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注意 上の整列集合の定義で、Wの順序が"全順序"であるという仮定は実は
不要である。(すなわち、それは後の条件から自然に導かれる。)実際、a,bを
Wの任意の2元とすれば、後の条件によってmin{a,b}が存在するが、min{a,b}=a
ならばa≦b,min{a,b}=bならばa≧b。いずれにしてもa,bは比較可能となる。ゆえに
Wの順序は全順序である。
われわれは次に、整列集合の性質を調べるのであるが、そのためにまず、1つの
概念を用意しておこう。
一般にAを任意の順序集合とし、a,bをAの2つの元とする。もしa<bで、a<x<b
となるようなAの元xが存在しないならば、Aの中でbはaの直後の元、aはbの直前の元
であるという。
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もしAが全順序集合であるならば、bがaの直後の元であることは、bがaよりも
大きいAの元の集合X={x|x∈A,a<x}の最小元であることと同等である。
bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在しない⇒
b∈X,(任意のx∈Xに対してb≦x)
()を背理法で示す。Aは全順序集合だからその部分集合であるXも全順序集合
だから∀x∈X(b≦x)でないと仮定すれば∃x∈X(b≧x)であるが、これは∃x∈X(a<x≦b)
うまく書けないorz
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やり直し・・・演習スレの5を使います。
もしAが全順序集合であるならば、bがaの直後の元であることは、bがaよりも
大きいAの元の集合X={x|x∈A,a<x}の最小元であることと同等である。
bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在しない⇒
b∈X,(任意のx∈Xに対してb≦x)
()を背理法で示す。Aは全順序集合だからその部分集合であるXも全順序集合
だから∀x∈X(b≦x)でないと仮定すれば∃x∈X(b>x)であるが、これは∃x∈X(a<x<b)
となり矛盾。
また、bがXの最小元⇔b∈X,∀x∈X(b≦X)⇒bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<b
となるようなAの元yが存在しない
これを背理法で示す。a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在するならば
y∈X。bがXの最小元であることにより、b<y。よって¬(y<b)これは(a<)y<bに矛盾。
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>>887
「有限の全順序集合が整列集合である」
証明おねがいします。
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>>888
おｋ
>>890
最後の行
bがXの最小元であることにより、b<y。
は
bがXの最小元であることにより、b≦y。
ですね。
おｋ。
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今1章の40pぐらいを読んでいます。
追いついたら（暇なので2月中には可能だと思います）
参加させてもらってもいいでしょーか？
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>>893
歓迎！！！
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>>891
有限の全順序集合Aが整列集合であることを背理法で示す。
Aが整列集合でないとすると、ある空でない部分集合が存在してその部分集合
(以降=Bとする)には最小元が存在しない。Bから任意に1つ元を取り出しそれを
x_1とする。Bに最小元が存在しないことによりx<x_1となるx∈Bが存在するから
そのうち任意の1つをx_2とする。こうしてx_1,x_2,x_3,･･･をとりだしていくと
Bの元がn個であるとすれば高々n+1回このような操作を繰り返せばx_k=x_lとなる
k,l(k>l)がでてくる。これは<における推移律よりx_k<x_l。矛盾。
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あ、BはAの部分集合だから全順序集合。それから、ここでも演習スレ5を使ってます。
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>>893
893さん大歓迎ですよ〜
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えと蛇足ですがAが有限だからBも有限です・・・
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>>895->>898
了解です。
B={x_1, x_2,…,x_n}であったとしたら
必要なら番号を付け替えることにより
x_1<x_2<…<x_n
とまさしく「整列」できるわけですね。
演習スレ>>8が効いてるわけですねー。
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>>894>>897 歓迎感謝！頑張って追いつきます。
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>>900
>>1->>899
までのレスへの、質問、ツッコミもよろしく。
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わりぃ久しぶり
そのうち復帰するんで進めといてｸﾚ
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>>902
ｵﾋｻｼﾌﾞﾘ!!
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>>887
忘れてました.
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/19
で自然数の整列性を仮定し,数学的帰納法の原理を証明しました.
>>887では,数学的帰納法の正しさは無条件に認めて,
数学的帰納法から,自然数の整列性を示したわけですね.
つまり
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/19
と>>887によって
自然数の整列性と,数学的帰納法の原理という2つの命題は同値である
ことが示されたわけですね.
でもこの2命題自体の正しさはまだ言ってないことを,注意しておきます.
-
続きです。
したがってAが全順序集合である場合、もしAの元aの直後の元が存在するならば、
それはaに対して一意的に定まる。同様に、やはりAが全順序集合であるという仮定
のもとに、aがbの直前の元であることは、a{x|x∈A,x<b}の最大元であることと同様
である。したがってbの直前の元は(もし存在すれば)bに対して一意的に定まる。
さてそこで、整列集合の考察に戻ろう。
定義から明らかに、整列集合の任意の部分集合はやはり整列集合である。
-
また、Wを任意の整列集合とすれば、次のことが成り立つ。
(鄯) minWが存在する。
(鄱) aをWの任意の元とするとき、もしaよりも後にあるWの元が存在
すれば、aの直後の元a'が存在する。
実際、(鄯)は定義から明らかである。また(鄱)の仮定のもとに、W'={x|x
∈W,a<x}は空ではなく、したがって整列集合の定義により、minW'が存在する。
それをa'とすれば、a'はaの直後の元である。
上の(鄯),(鄱)は、順序集合Nが最小元1をもち、またNの任意の元nに対して
その直後の元n+1が存在する、という周知の性質の、一般の整列集合への拡張で
ある。
ただし、Nにおいては、1以外の任意の自然数は必ず直前の元は有するが、この
性質は一般の整列集合Wでは必ずしも満たされない。すなわち、aをWの元とする
とき、(a≠minWであっても)aの直前の元は必ずしも存在するとは限らない。しかし、
aの直前の元が存在する場合には、(上にも注意したように)それはaに対して一意に
定まる。
例 整列集合Wの元a(≠minW)が直前の元をもたないような例は、次のようにして
簡単につくられる。いま、ωを自然数と異なる1つの記号とし、N∪{ω}=Wとおく。W
において順序≦を次のように定める:"Nの元に対しては≦は大小の順序そのままとし、
また任意のn∈Nとωに対してはn<ωとする。"このように≦を定めれば、Wは明らかに
整列集合となるが、その元ωは直前の元を持たない。
-
>>905
了解。前半は>>868の第一段落によるわけですね。
後半は部分集合の部分集合はまた部分集合というわけですね。
>>906
了解。
-
Ｂ）切片と超限帰納法
Wを整列集合,aをその元とします.このとき{x|x∈W,x<a}をWのaによる切片といい
W<a>と書きます.
W<a>=Φ⇔a=minWです.実際演習スレ>>8を使えばW<a>=Φ⇔W-W<a>=W⇔{x|x∈W,x≧a}=W⇔a=minW.
また>>905でLAR-menさんが述べてくれたように
a*がaの直前の元⇔a*=maxW<a>.
です.
aが直前の元をもたないとすると,任意のW<a>の元xに対してx≦aですからaはW<a>の上界のひとつです.
a'がW<a>の任意の上界であるとすると,a'<aではありえません.a'<aであるならa'∈W<a>となってしまい,
a'=maxW<a>すなわちa'はaの直前の元という矛盾を起こしてしまいます.だからa≦a'.
以上より,
aが直前の元を持たないならばa=supW<a>
が成り立ちます.
-
超限帰納法の原理を説明しましょう.
次が成り立ちます.
W'を整列集合Wの部分集合とします.このとき
W<a>⊂W'⇒a∈W'が成り立つならW'=Wが成り立つ…☆
証明 Wが整列集合であるのでW-W'≠Φならmin(W-W')が存在する.
W-W'=V,a=minVとおくとW<a>∩V=Φ,即ちW<a>⊂V^c=W'.
☆の仮定によりa∈W'.矛盾.
☆は言い換えると次の定理２が正しいことの保障になっています.
定理２ 整列集合Wの各元aに対してひとつの命題P(a)が対応しているとする.
このとき次の★が成り立てば,Wのすべての元aに対してP(a)は真である.
★…aがWの任意の元とするとき,x<aであるWの元xについてP(x)が真であるなら,P(a)も真.
定理２の証明 W'={x|x∈W,P(x)が真}とおく.このとき★が成り立つとすると,
「x<aであるWの元xについてP(x)が真であるなら,P(a)も真｣を仮定したことになるが,
このことは言い換えれば「W<a>⊂W'⇒a∈W'が成り立つ｣である.
☆によりこのときW'=Wであるがこのことは,すべてのWの元aに対してP(a)が真であることを
表している.■
-
定理２による論証法はW=Nのとき数学的帰納法,一般のWのとき超限帰納法といいます.
a=minWのとき★は
x<minWであるxについてP(x)が真ならP(minW)も真
になりますが,これは
(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)⇒P(minW)が真
即ち
¬(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)∨P(minW)が真
となり
¬(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)
が矛盾式であるので結局
P(minW)が真
のみを仮定することと同じです.
実際に超限帰納法を用いて証明するときは
1.P(minW)が真
2.minWでない任意のWの元aについて,x<aなるWの元xに対してP(x)が真ならP(a)も真
の2つを示すことになります.
-
切片を特徴付ける補題を紹介します.
補題１ Jを整列集合Wの部分集合とする.Jが条件
★★ x∈J,y∈W,y<x⇒y∈J
をみたしているならばJはWと一致するか何らかのWの元の切片と一致する.
証明 ★★をみたすJがJ≠WであるとするとW-J≠Φ.整列集合の定義より
min(W-J)が存在する.
x∈J,x>min(W-J)であるとすると★★よりmin(W-J)∈Jとなってしまい,
x∈J,x=min(W-J)であることはありえない.
よってx∈Jならx<min(W-J)となりx∈W<min(W-J)>.即ちJ⊂W<min(W-J)>.
また,(W-J)∩W<min(W-J)>≠Φであるとするとx∈(W-J)∩W<min(W-J)>
なるWの元xが存在することになるがx∈W-Jだからmin(W-J)≦xとなりx∈W<min(W-J)>
とはなりえない.よってW<min(W-J)>⊂J.■
-
a,bが整列集合Wの元であるとします.
このときa≦bであるとするとW<a>⊂W<b>が成り立ちます.
なぜなら,x∈W<a>であるとするとx<aであり,推移律によりx<bが成り立ち,したがって
W<a>⊂W<b>が成り立ちます.
逆にW<a>⊂W<b>であるとするとa≦bが成り立ちます.
なぜなら,W<a>⊂W<b>,a>bであるとすると,b∈W<a>,¬(a∈W<b>)という矛盾が起きます.
以上よりa≦b⇔W<a>⊂W<b>が成り立ちます.
したがって,順序集合(W,≦)から順序集合({W<a>}_[a∈W],⊂)への写像fを
f:W∋x|→W<a>∈{W<a>}_[a∈W]
と定めると,x≦y⇒f(x)⊂f(y)が成り立つので,fは順序写像,
f(x)⊂f(y)⇒x≦yも成り立つので,fは順序単射.さらに,
任意の{W<a>}_[a∈W]の元W<x>に対して,f(x)=W<x>なるWの元xがあるので,fは順序同型写像
となります.
またa<bであるなら(W<b>)<a>=W<a>となります.
実際,x∈(W<b>)<a>ならx<aだからx∈W<a>,即ち(W<b>)<a>⊂W<a>が,
x∈W<a>ならx<aだから推移律よりx<bだからx∈W<b>かつx<aが成り立つのでx∈(W<b>)<a>,
即ちW<a>⊂(W<b>)<a>が成り立ちます.
-
>>911
ここにも演習スレ>>8が。この部分本よりこっちのほうが理解できます。
>>912
＞W<a>⊂W<b>,a>bであるとすると,b∈W<a>,¬(a∈W<b>)という矛盾が起きます
ここは¬(b∈W<b>)の間違いでは？
後は納得です。
-
>>913
そうなんです。演習スレ>>8大活躍です。
そうです。そのとおりの間違い。スマソ。
-
C) 整列集合の順序同型
本項では、次項D)で"整列集合の比較定理"を証明するための準備として、
整列集合の順序同型に関する二三の補題を述べよう。
補題２ fを整列集合Wからそれ自身への順序単射とすれば、Wのすべての
元xに対してf(x)≧xが成り立つ。
証明 仮に、f(x)<xとなるようなWの元xがあるとすれば、
M={x|x∈W,f(x)<x}
は空でないから、minM=x_0が存在する。x_0∈Mであるから、f(x_0)<x_0で、
fは順序単射であるから、これよりf(f(x_0))<f(x_0)･･･(*)。したがってf(x_0)
もMの元となる。これはx_0がMの最小元であることに反する。
(*)については(1.7)の対偶および演習スレ>>8により得られる。
-
補題３ 整列集合Wはその任意の切片と決して順序同型にならない。また
a,bをWの異なる2元とすれば、W<a>とW<b>も順序同型にならない。
証明 もしWからその切片W<a>への順序同型写像fが存在したとすれば、
f(の終集合をWに変えた写像)はWからそれ自身への順序単射で、f(a)∈W<a>
であるから、f(a)<a。これは補題２に反する。したがって、WとW<a>は順序同型
でない。後半はa≠bならばW<a>,W<b>の一方が他方の切片となることに注意
すれば、前半に帰着する。
-
補題４ 整列集合W,W'が順序同型ならば、Wの任意の切片W<a>に対して、
それと順序同型になるようなW'の切片W'<a'>が存在する。かつ、このとき
a'はaに対して一意的に定まる。
証明 fをWからW'への順序同型写像とすれば、明らかに、
f(W<a>)=W'<f(a)>･･･(*)
となるから、fの定義域をW<a>に縮小し、かつ終集合をW'<f(a)>に変えれば、
W<a>からW'<f(a)>への順序同型写像が得られる。よって、f(a)=a'とおけば、
W<a>〜W'<a'>となる。また、W<a>〜W'<a'>となるようなa'が(aに対して)
一意的に定まることは、補題３(および(1.9)(1.10))から明らかである･･･(#)。
-
〜は記号が出なかったため略記しています。正確には〜の下にーです。
(*) f(W<a>)={y|∃x(x∈W<a>,f(x)=y)}={y|∃x(x∈W,x<a,f(x)=y)}
={y|∃x(x∈W,f(x)∈W',f(x)<f(a),f(x)=y}={y|∃x(x∈W,f(x)=y,y∈W',y<f(a)}･･･
だめだ失敗o...rz
-
(#) 一意的に定まらないと仮定するとW<a>〜W<b>,W<a>〜W<c>となる異なる2元b,c
がとれるが、W<b>〜W<a>,W<a>〜W<c>よりW<b>〜W<c>これは補題３の後半に反する。
-
本項の最後に、上の補題４(およびその証明)から得られる１つの定理を
挙げておく。
定理３ 整列集合W,W'が順序同型ならば、WからW'への順序同型写像は
一意的に定まる。特に、Wからそれ自身への順序同型写像は、W上の恒等写像
I_Wのほかにない。
証明 W〜W'とし、f,gをともにWからW'への順序同型写像とする。そうすれば、
Wの任意の元aに対し、補題４の証明で示したように、W<a>〜W'<f(a)>,W<a>〜W'<g(a)>
となるから、一意性によってf(a)=g(a)。ゆえにf=g。定理の後半は前半から明らか
である。
-
すいません>>918どなたかおねがいします
-
>>915
(1.7)は>>874の(1.7)ですね.レスアンカー,できるだけ付けてくれると嬉しい.
>>916
後半は>>912の後半(と例によって演習>>8)によるわけですね.
>>918
(W,≦),(W',≦')を整列集合,fをWからW'への順序同型写像であるとすると
fは順序単射だから単射,またfは全射だから全単射.
よって,例の演習>>8より
x<y⇔¬(x≧y)⇔¬(f(x)≧'f(y))⇔f(x)<'f(y).
この結果を用いれば,fは全単射でもあることから
y∈f(W<a>)⇔f^{-1}(y)∈W<a>⇔f^{-1}(y)<a⇔y<f(a)⇔y<a'⇔y∈W'<a'>.■
>>919
えと,すんません.よくわかりません.W'<a'>がでてくる書き方で書いてもらえると
わかりやすいかと.
>>920
「明らか」…遣いたくなる気もわかるんですが,説明してみてください.
-
補足.
fが順序同型写像なら,f^{-1}もそうですね.
-
すいません
>>919訂正
(#) 一意的に定まらないと仮定するとW<a>〜W'<b>,W<a>〜W'<c>となる異なる2元b,c
がとれるが、W'<b>〜W<a>,W<a>〜W'<c>よりW'<b>〜W'<c>これは補題３の後半に反する
>>920
I_WはWからWへの順序同型写像。また前半よりWからWへの順序同型写像は一意的に定まる。
したがって、Wからそれ自身への順序同型写像は、W上の恒等写像I_Wのほかにない。
-
>>922
>>918の解答ありがとうございました。納得です。
-
>>924
了解。納得です。
乙でした。
-
これからもLAR-menをよろしく。
ﾆｬﾋｰ
-
いよいよ復帰・・・！
>>793
Bが空集合になることは考えなくていいのでしょうか。
>>868
Aに最大元、最小元が存在するなら、Aは全順序集合でおｋですか？
早速D）にとりくみたいと思います。
-
第3章 順序集合，Zornの補題
§2 整列集合とその比較定理
p103 D)整列集合の比較定理
前項の補題3、補題4、および前々項の補題1を用いて、整列集合に関する重要な次の
定理が証明できます。
定理4(比較定理)
W,W'を２つの整列集合とすれば、次の三つの場合のいずれか一つ、しかも一つだけが成立
1)W〜W'(〜は順序同型の意)
2)∃a'∈W'；W〜W'<a'>
3)∃a∈W；W<a>〜W'
なお、上の2),3)の場合にa,a'は一意的に定まる。
証明
簡単にわかるところから示していきましょう。
・「2),3)の場合にa,a'が一意的に定まること」
2)のとき、W'の二元a',b'に対しW〜W<a'>∧W〜W<b'>とすると、
交換律(1.9),推移律(1.10)>>874から、W<a'>〜W<b'>となるが、補題3よりa'=b'となる。
3)のときも同様。
・「1)2)3)のどの2つの場合も両立しないこと」
1)と2)が両立すると仮定すると、おなじく交換律と推移律からW'〜W'<a'>となるが、
補題3に矛盾する。1)と3)の場合も同様。
2)と3)が両立すると仮定する。W〜W'<a'>であるから、補題4よりW<a>はW'<a'>のある切片
(W'<a'>)<b'>と順序同型になる。しかるに(W'<a'>)<b'>=W'<b'>なので、
(∵x∈(W'<a'>)<b'>⇔x<a'∧x<b'∧b'<a'⇔x<b'<a'⇔x∈W'<b'>)
W<a>〜W'<b'>。3)より、W'<b'>〜W'。これは補題3に矛盾。
1)2)3)のいずれかが成立ことを示す、本格的な議論は次からですが、一読しただけでは
わけがわからなかったので具体例を作ってみました。
-
運動会の玉入れを考えてみて下さい。赤組が7個、白組が5個入れたとします。
競技終了後、かごから一つずつ玉を取り出し、取り出した順に赤組は
①②③・・・,白組は⑪⑫⑬・・・というシールを貼り、左から一列に並べてみます：
赤組 ①②③④⑤⑥⑦ これを元とした集合をWとします。
白組 ⑪⑫⑬⑭⑮ おなじくこれを元とする集合をW'とします。
W,W'は整列集合です(順序は○の中の自然数の大小関係と考えてください)。
さて、玉をより多く入れたのは・・・明らかに赤組ですね。でもどうしてすぐにそう判断できた
のでしょうか？そう考えてみると、無意識のうちに、頭の中で①と⑪、②と⑫・・・というペア
がどこまで作れるか、で比較していることがわかると思います。この場合⑤と⑮が最後の
ペアで、⑥⑦に対応する白組の玉はありません。したがって赤組がより多くの玉を入れた
とわかります。ここで、①を⑪に、②を⑫に、・・・⑤を⑮に対応させているわけですが、
この対応fはW<⑥>からW'への順序同型写像にほかなりません。
よってこの場合定理4の3)が成立しています。
鍵になるのは順序同型な集合{①,②,③,④,⑤}と{⑪,⑫,⑬,⑭,⑮}を構成したことです。
そこで、定理4の証明の方針です。W<x>〜W<x'>をみたすx,x'の組を考え、
J={x∈W｜∃x'∈W'；W<x'>〜W<x>}、J'={x'∈W'｜∃x∈W；W<x>〜W'<x'>}とおく。
J〜J'を示す。JがWorその切片、かつJがW'orその切片となることを示す。JもJ'も切片となる
ことは、J,J'の元以外のペアが余っていることになり、不適。よって1)or2)or3)。
こんな感じです。
これで俺は以下に書く証明を不自然だとは思わなくなりました。
-
しかし、上の方針で行く時一つ大きな山場があります。
＞JがWorその切片、かつJがW'orその切片となることを示す。
ここです。ここで、(定義以外で)「○○ならば、Jは切片」という定理は今まで一つしか
示されていないことに注意しましょう。それは補題1>>911です。これを利用します。
すなわち、x,y∈Wに対しx∈J∧x>y⇒y∈Jを示せばいいことになります。
これはどうやって示せばいいか？さきほどの具体例で考えてみます。
試しに、④∈Jのとき、③∈JをJの定義からみちびきます。
③∈J⇔∃x'∈W'；W'<x'>〜W<③>(この場合x'=⑬)を導くのが目標ですが、
④∈Jより∃x'∈W'；W'<x'>〜W<④>(この場合x'=⑭)なので、補題4により
∃x'∈W'；W<x'>〜(W<④>)<③>=W<③>なので示せました。
同様にして、J'もW'orその切片であることが示せます。
前置きが大分長くなりました。それではちゃんとした証明です↓。
-
(>>929に続く)
・「1),2),3)のいずれかの場合が必ず成立すること」
x∈W,x'∈W'に対し、条件
(*)W<x>〜W<x'>
という関係を満たす組を考える。
J={x∈W｜∃x'∈W'；W'<x'>〜W<x>}、J'={x'∈W'｜∃x∈W；W<x>〜W'<x'>}とおく。
補題3により、各x∈Jに対し(*)を満たすx'∈J'が一意的に定まり、逆に各x'∈J'に対し
(*)を満たすx∈Jも一意的に定まる。よって、Jの各元xにJ'の各元x'を対応させる写像fは、
J'からJへの全射でありJからJ'への全射、すなわちJからJ'への全単射である。
次に、以下の(a)(b)(a')(b')を示す。
(a)Wの部分集合Jは、補題1の条件(2.2)すなわち∀x,y∈W；x∈J∧x>y⇒y∈Jを満たす
(b)∀x,y∈J；x>y⇒x'>y'(ただしf(x)=x',f(y)=y')
(a')W'の部分集合J'は、補題1の条件(2.2)すなわち∀x',y'∈W'；x'∈J'∧x'>y'⇒y'∈J'を満たす
(b')∀x',y'∈J'；x'>y'⇒x>y(ただしf^(-1)(x')=x,f^(-1)(y')=y)
(a)(b)を示せば、同様の議論で(a')(b')も示される。
(a)
x∈J∧x>y⇔W<x>〜W'<f(x)>∧x>y⇔W<x>〜W'<x'>。W<y>はW<x>の切片となるから、補題4
より、∃y1'∈W'<x'>；(W<x'>)<y1'>〜W<y>⇔∃y1'∈W'<x'>；W'<y1'>〜W<y>。∴y∈J。
(b)
一意性によりy1'=f(y)=y'。y1'∈W<x'>⇔y1'>x'。∴x'>y'。
(b)と(b')よりfはx≧y⇔f(x)≧f(y)をみたすから、順序同型写像である。
(a)によりJはW全体となるかまたはWのある切片W<a>と等しい。
(a')によりJ'はW'全体となるかまたはW'のある切片W'<a>と等しい。
よって以下の4通りが考えられる。
(i)J=W∧J'=W'のとき：定理4の1)が成立。
(ii)J=W∧J'=W'<a'>のとき：定理4の2)が成立。
(iii)J=W<a>∧J'=W'のとき：定理4の3)が成立。
(iv)J=W<a>∧J'=W'<a'>のとき：J〜J'⇔W<a>=W'<a'>よりa∈JだがこれはJ=W<a>に反する。
以上により定理4は完全に証明された。□
-
>>932で
＞(b)一意性によりy1'=f(y)=y'。y1'∈W<x'>⇔y1'>x'。∴x'>y'。
のy1'>x'はy1'<xの間違いです。
あとW´がWになっているところが何箇所かあります・・・ｽﾏｿ
-
亀レス御容赦
>>827(3.11)
証明そのものに全く異論はありませんが、命題の設定は
m≦m',n≦n'⇒n^m≦n'^m'じゃないですか？既出だったらｽﾏｿ
>>932(b)の証明で、
＞一意性により・・・
とありますが、何の一意性かというと、補題4>>917の、
「W〜W'ならW<a>〜W'<a'>なるa,a'が一意的に定まること」
これです。
次の§3A)も俺が担当します。よろすく
-
>>928
B=Φとすると,すべてのMの元aに対してa∈g(a)だからg(a)とBが一致することはありません.
というふうにB=Φのケースを別に考えてもいいのですが,「a∈g(a)ならば¬(a∈B)」と
「¬(a∈g(a))ならばa∈B」はB=Φであるときも真なる命題ですので,
>>793はB=Φのケースを含んでいます.
>>929
概ね了解です.
下から五行目(W'<a'>)<b'>=W'<b'>の理由は,W'<a'>は整列集合の部分集合だから
再び整列集合,b'∈W'<a'>ならb'<a'であることと>>912が理由でよいのでは.
臺地くんの書き方だとx<b'<a'⇔x∈W'<b'>のx∈W'<b'>⇒x<b'<a'はなんで？a'って？
っていうふうな疑問がわいてきかねない.
>>930-931
証明の本質的なアイデアの紹介,乙です！！松坂先生も実際の授業では,
このレスのようなことを喋ってから,証明に入ったんじゃないでしょうか.
マカーのROMさんがいるかもしれないので丸数字はよしたほうがよいかと.
>>932
七行目,「補題３により」は「補題４により」ですね.
fが全単射である説明が,ちょっとヘンでは？
(a)の証明中,W<x>〜W'<f(x)>∧x>y⇔W<x>〜W'<x'>とありますが,x'ってf(x)のことですか？
x>yはどこいったんですか？
大筋はおｋです.
-
>>934
ああ,済みませぬ.>>827は多分,仕事場で,本なしで書いた原稿です.
えと,過去のレスを参照しながら読むことが多いので,できるだけ
レスアンカーをつけてもらえると嬉しいです.
-
>>935
・928について
納得です。
これと関連して､写像の始集合や終集合がφである場合は考えなくていいのかなと
おもったんですが、こっちはあとがきに書いてありました。
・929について
なるほど。>>912で既に出てましたね。でも一応訂正しておきます。
「a'>b'のもとで、x∈(W<a')><b'>⇔x<b'⇔x∈W<b'>∴(W<a')><b'>=W<b'>」
・930について
どうもです。これからもできるだけ具体例を挙げていきたいんですが、結構きつい。。
丸数字、気をつけます。
-
続き
・932について
＞補題3→補題4、その通りです。すみません
＞fが全単射である説明
>>932修正版
「補題4により、各x∈Jに対し(*)を満たすx'∈J'が一意的に定まり、補題3によりxの値が異な
ればx'の値も異なる。よって、各x∈Jに、このようにして定まるx'∈J'を対応させる対応をfと
するとfは写像で、fはJからJ'への単射。逆に各x'∈J'に対し(*)を満たすx∈Jも一意的に定ま
るから、fは全射。したがってfはJからJ'への全単射である。」
＞x'ってf(x)のことですか？
そうです。932中、
＞(b)∀x,y∈J；x>y⇒x'>y'(ただしf(x)=x',f(y)=y') に書いたつもりでした。
＞x>yはどこいったんですか？
完全にミスでした。「W<x>〜W'<f(x)>∧x>y⇔W<x>〜W'<x'>∧x>y」に訂正します。
-
>>934
了解です。テクストなしですか・・・！
＞レスアンカー
すみません。できるだけ付けるよう気をつけます。
本の記述を微妙に変えることがあり、かえってわかりにくくなったりミスが出ることと思います
が、ガンガン指摘してください。
それでは次節に進みましょう。長いですけど(A)は直観的には難しくないと思います。
(B)項でついにZornの補題(なぜに補題？ちなみに"主題"があったりするのか？)
を証明します。一番おいしい所を持っていくのは・・・誰？(･∀･)
-
第3章 順序集合,Zornの補題
§3 Zornの補題，整列定理
p105 A)整列集合に関する一命題
ついに本章のメインテーマ・ツォルンの補題、整列定理に入ります。
これらの命題はあとで書くように実は選出公理と論理的に同等のものですが、数学の理論へ
の応用には、これらの命題の形の方が選出公理よりも効果的であることが多いのです。
本項ではこの命題を証明するための準備として、整列集合に関する一つの補題を示します。
これは本質的には簡単なものです。(Λと∧がまぎらわしい所は「かつ」と日本語を使用)
補題1
(W_λ)_λ∈Λは集合A(順序集合とは限らない)の部分集合族である。各W_λにはそれぞれ
順序≦_λが定められており、(W_λ,≦_λ)は整列集合を為しているとする。また、Λの異なる
二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になっている。
このとき、以下の(1)〜(5)が成立する：
(1)∀(x,y)∈W^2(∃λ∈Λ；x∈W_λかつy∈W_λ)
(2)(1)の場合、x(≦_λ)yであるか、y(≦_λ)xであるかに応じてx≦y,y≦xと定義すれば、
関係≦は x∈W_λかつy∈W_λ・・・(*) を満足するλに依存せず定まる
(3)W=∪_[λ∈Λ]W_λとおくと、≦はWにおける順序関係
(4)(W,≦)は整列集合
(5)任意のλ∈Λに対し、(W_λ,≦_λ)は(W,≦)と一致するかまたはその切片となる
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>>940の続き
証明
(1)
x,y∈Wとすれば、W=∪_[λ∈Λ]W_λであるから、
∃(λ,λ')∈W_λ×W_λ'；x∈W_λかつy∈W_λ'
ここで、仮定によりW_λ'⊂W_λまたはW_λ⊂W_λ'
W_λ'⊂W_λのとき、yもW_λの元となるから命題は成立。W_λ⊂W_λ'のときも同様。
(2)
x,y∈Wとし、(x,y)∈W_λ^2かつ(x,y)∈W_λ'^2を仮定する。(λ≠λ')
条件より(W_λ,≦_λ)、(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片、従って部分順序集合
であるから、x(≦_λ)y⇔x(≦_λ')y；y(≦_λ)x⇔y(≦_λ')x
よって、x≦yとy≦xの定義は(*)を満足するλのとり方によらない。
(3)
(1)と同様にして∀(x,y,z)∈W^3(∃λ∈Λ；(x,y,z)∈W_λ^3)。これより≦がWにおける
順序関係であることを示す。定義によりW_λの上で≦_λと≦とは一致。
x≦x⇔x(≦_λ)xは真なので反射律が成立。
x≦y∧y≦x⇔x(≦_λ)y∧y(≦_λ)x⇔x=yは真なので反対称律が成立。
x≦y∧y≦z⇔x(≦_λ)y∧y(≦_λ)z⇒x(≦_λ)z⇔x≦zは真なので推移律が成立。
以上より示された。
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>>941の続き
(4)
Mを任意の空でないW=∪W_λの部分集合とするとき、≦に関するMの最小値が存在すること
を示す。M≠φより、∃λ∈Λ；M∩W_λ=φ。このようなλについて、(W_λ,≦_λ)が整列集合
であることから≦_λに関するmin(M∩W_λ)=aが存在する。a=minMを示す。
xをMの任意の元とするとき、x∈W_λと¬(x∈W_λ)の一方のみが必ず成立。
x∈W_λならば、x∈M∩W_λよりもちろんa(≦_λ)x⇔a≦x。
¬(x∈W_λ)ならば、∃λ'∈Λ；λ'≠λかつx∈W_λ'。このようなλ'に対して、問題文より
(W_λ,≦_λ)と(W_λ',≦_λ')の一方は他方の切片であるが、¬(W_λ'⊂W_λ)なので
(W_λ,≦_λ)が(W_λ',≦_λ')のある切片W_λ'<b'>となる。
a∈W_λ∧x∈W_λ'-W_λ∴x(≧_λ')b'(>_λ')a(¬(x<b')⇔x≧b'を利用)∴x≧a
したがって、任意のx∈Mに対し、x≧aであるから、a=minM。
(5)λは任意固定
W_λが他のW_λ'を全て含むならば、W_λ=W。よって(W_λ,≦_λ)と(W,≦)は一致する。
そうではないときを考える。W_λ上で≦_λと≦は一致している、つまり(W_λ,≦_λ)は(W,≦)
の部分順序集合。前者が後者の切片であることを示す。補題1を利用する。
すなわち、x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示せばよい。
W_λ'∋x,yなるλ'をとると、整列集合の比較定理より、(W_λ',≦_λ')=(W_λ,≦_λ)
(⇔λ=λ')か、(W_λ',≦_λ')が(W_λ,≦_λ)の切片であるか、(W_λ,≦_λ)が
(W_λ',≦_λ')の切片になるか、のどれか一つだけが必ず成立する。
前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは恒真式だから命題は成立。
最後の場合は、x∈W_λ∧y∈W_λ'∧x(>_λ')yよりy∈W_λ'<x>よってy∈W_λが言え、
≦_λ'と≦が一致していることから命題は成立。よって示された。
以上より補題1が完全に証明された。□
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補題1で、Aが順序集合(A,≦)であり、各λで≦_λは≦に一致すると考えると次の系が
得られます。次項B)の補題2の証明でこの系が利用されます。
系
(W_λ)_λ∈Λを順序集合Aの部分集合族とし、各W_λはAの部分順序集合として整列集合
であるとする。また、λ,λ'をΛの異なる二元とすれば、W_λ,W_λ'のいずれか一方は他方の
切片になっているものとする。このとき、∪_[λ∈Λ]W_λ=WもAの部分順序集合として整列
集合である。しかも、任意のW_λは、W全体と一致するかまたはその切片となる。
-
>>937-938
訂正おｋです.
>>939
＞ガンガン指摘してください.
では,遠慮なく.
>>940
(1)のWはなんですか？A？(3)のW？
>>941
(1)の証明読むと>>939の(1)のWは(3)のWみたいだけど,
初登場の文字は,初登場時に説明しないと,わかり辛いですよ.
(1)の証明中の「仮定より」って「W_λとW_λ'は,必ず一方が他方の切片」
っていう仮定ですね.
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(2)の証明について.
「(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片」
とは,たとえばW_λがW_λ'の切片になるケースでは,
≦_λが≦_λ'の制限になることを含意しているのですね.
そこら辺をもうチョット説明してほしかったですね.
二行目「条件より」の条件ってどの条件？
(3)の証明.
おｋです.
>>942
(4)の証明について.
二行目,∃λ∈Λ；M∩W_λ=φは,∃λ∈Λ；M∩W_λ≠φですね.
M≠Φのときこのことがいえるのは初学者むけの演習かもしれませんね.
第二パラグラフ一行目,「問題文より」は問題文のどの部分ですか？
そもそも,問題文ってどの文のことですか？(小姑みたいでゴメンネ).
大筋はおｋ.
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(5)の証明について.
＞W_λが他のW_λ'を全て含むならば、W_λ=W。
∀λ'∈Λ-{λ},W_λ'⊂W_λならばW=(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ=W_λ⊂W
が理由ね.書いてほしかった.
第一パラグラフ四行目の補題1ってのは三章二節の補題1(>>911)のことですね.
一瞬,証明中に証明すべき補題をつかったのかとおもいましたよ.
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第二パラグラフ一行目.W_λ'∋x,yはW_λ'∋yですか？「整列集合の比較定理」は>>929ね.
第二パラグラフ二行目冒頭.(W_λ)_λ∈Λってのは集合族ですよね.
集合族ってのはΛを始集合とし,値を集合にとる写像ですよね(>>550-551参照).
この写像は別に単射ってわけじゃあ,かなわずしもない.だとしたら(⇔λ=λ')は変じゃない？
第二パラグラフ四行目.恒真式の意味をちゃんと説明しなかったこっちが悪いんだけど。。。
えと,一般的な定義は論理学の範疇だから,詳しくはそっちをご覧下さいっていわんと
いかんのだけど,例えばpとqでできた命題(例えば(¬p∨q)⇒(p⇒q)とか)が恒真式とは,
pとqの真理値の組み合わせがいかなるものであっても命題自体の真理値が常に真となる命題
のことです.このレスの場合,(W_λ,≦_λ)=(W_λ',≦_λ')のときは
λ'=λだから仰るようにたしかにy∈W_λ'⇒y∈W_λは「p⇒p」で恒真式ですが,
(W_λ',≦_λ')が(W_λ,≦_λ)の切片のとき,y∈W_λ'⇒y∈W_λが成り立つのは
単にW_λ'⊂W_λが成り立つから,これと同値な命題は当然成り立つって話で,
恒真式じゃないですね。(p⇒qって命題が恒真式なはずがないですね).
第二パラグラフ五行目.x∈W_λ∧y∈W_λ'∧x(>_λ')yよりy∈W_λ'<x>
の「より」は「を仮定するなら」の意味ですね.「より」だと「はすでにいえてるから」
といってるようにも見えます.
＞y∈W_λ'<x>よってy∈W_λが言え、
これは理由書いてくださいよ.
>>943
了解.
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>>944
・>>940について
そうです。その通りです。本来の問題文は
＞(前略)このとき、W=∪_[λ∈Λ]W_λとおくと、以下の(1)〜(5)が成立する
でした。(1)(2)にW出てこないから(3)に入れちゃえと思ってたら(1)に出てました・・・。
＞仮定より、問題文より、条件より・・・ってどこ？
すべて直後に書いてあります。テキストで登場が唐突だったのでこの言葉を入れたものです。
かえってわかりにくくなったでしょうか。とりあえず表現を「問題文より」に統一すべきでした。
>>945
・>>941について
説明不足了解。
・>>942について
そのとおりです。すみません
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>>946
＞∀λ'∈Λ-{λ},W_λ'⊂W_λならばW=(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ=W_λ⊂W
なるほど。こういうこと書く時に、どこまで書くものなんでしょう？そこまで書いたのなら
＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ
も書くべきだと思う人がいるかもしれません。加減がわからないです・・。
補題1、レスアンカー付け忘れてましたすみません。気をつけます。
でも直後の言葉ですぐわかってもらえたのではないでしょうか。
>>947
恐縮ですが・・・段落分け、お願いします
＞W_λ'∋x,yはW_λ'∋yですか？
xとyを両方とも含むW_λ'を考えるということです。このようなλ'の存在は(1)で示してます。
＞(⇔λ=λ')は変じゃない？
ちょっと意図をはかりかねます。先生自身もその後で
＞(W_λ,≦_λ)=(W_λ',≦_λ')のときはλ'=λだから
と書かれていますが・・・。問題文によれば、
「Λの異なる二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になり
決して等しくはならない」ことから、(W_λ',≦_λ')=(W_λ,≦_λ)⇔λ'=λは正しいと思います。
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>>947続き
＞恒真式
知ったかぶって言葉を使うのはよくないみたいですね。
もっと勉強してからそういう言葉を使うようにします。
>>942修正その1
「前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは常に真だから命題は成立。」
＞「より」は「を仮定するなら」の意味ですね
そうです。俺は先に掲げていた
＞x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λ
のx∈W_λ∧y∈W∧x>yを前提条件にして考えていたのだと思います。
＞＞y∈W_λ'<x>よってy∈W_λが言え、
＞これは理由書いてくださいよ.
「(W_λ,≦_λ)が(W_λ',≦_λ')の切片であるから、W_λ=W_λ'<a>とおく。
x∈W_λだからx<aで、W_λ<x>=(W_λ'<a>)<x>=W_λ'<x>。
よってy∈W_λ'<x>ならばy∈W_λ<x>⊂W_λ∴y∈W_λ。」
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>>948
えーっと。我々は問題を解いているのではなく、テクストを解読してるわけでありまして、
テクストの中に「問題」は演習のページを除いて一切ありません。補題はlemmaの訳で
補助命題とでも言うべきものです。補題や命題や定理の主張内容のことは、
ステートメントと言います。
＞とりあえず表現を「問題文より」に統一
したりしないで下さい。「仮定より」とかくより「かくかくしかじかという仮定より」と
書いてほしいだけです。
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>>949
＞＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ
＞も書くべきだと思う人がいるかもしれません。
？。書いてあると思うけど。？？
＞加減がわからないです・・。
ご自分でテクストを読まれたとき、著者の主張にたいしてご自分で主張の成り立つ理由を、補足
されながら進むような箇所については、その主張の成り立つ理由も書く、という基準は
いかがでしょう。とりあえず、次スレのテンプレには
･テクストを持ってない人が読んでもわかるレスを心がけましょう。
･大学受験生にとってセルフコンテインドになるくらいのスレッドになるよう心がけましょう。
･過去ログ、過去レスを参照して読むことが多くなるでしょう。レスアンカーを忘れずに。
くらいは書いとこうと思ってます。まあ、自分の思うとおりに書いて、質問がきたり
もう少し詳しく書いてっていう要請が来たりすれば、より詳しく書けばいいと思いますよ。
で、あまりに質問が来るようだと、全体にもう少し詳しく書く方針にすればいいし、
逆に、そんなに詳しく書かんでも。。ってレスが沢山くるようであれば、全体にもう少し
省略して書く方針にすればいいと思いますよ。
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